Номер 9.164, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.164. Найдите зависимость между x и y:

1) $x=t^{\frac{1}{2}}$, $y=t^{-\frac{1}{2}}$;

2) $x=t^{\frac{1}{3}}$, $y=t^{\frac{1}{6}}$;

3) $x=3t^{\frac{1}{2}}$, $y=2t^{-\frac{1}{2}}$;

4) $x=0,5t^{-\frac{1}{2}}$, $y=0,4t^{-\frac{1}{2}}$.

1) Даны параметрические уравнения: $x = t^{\frac{1}{2}}$ и $y = t^{-\frac{1}{2}}$. Чтобы найти зависимость между $\text{x}$ и $\text{y}$, необходимо исключить параметр $\text{t}$. Из первого уравнения имеем $x = t^{\frac{1}{2}}$. Второе уравнение можно переписать как $y = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$. Подставив $\text{x}$ вместо $t^{\frac{1}{2}}$ во второе уравнение, получаем: $y = \frac{1}{x}$. Данная зависимость также может быть записана в виде $xy = 1$. Поскольку $x = \sqrt{t}$, переменная $\text{x}$ может принимать только неотрицательные значения. Однако, поскольку $y = t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{t}}$, то $\text{t}$ не может быть равно нулю. Следовательно, $t > 0$, что означает $x > 0$ и $y > 0$.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$ при $x>0$.

2) Даны параметрические уравнения: $x = t^{\frac{1}{8}}$ и $y = t^{\frac{1}{6}}$. Исключим параметр $\text{t}$. Из первого уравнения выразим $\text{t}$. Для этого возведем обе части уравнения в 8-ю степень: $x^8 = (t^{\frac{1}{8}})^8$, что дает $t = x^8$. Теперь подставим полученное выражение для $\text{t}$ во второе уравнение: $y = (x^8)^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{8}{6}} = x^{\frac{4}{3}}$. Поскольку в исходных уравнениях $\text{t}$ находится под корнями четной степени (8-й и 6-й), должно выполняться условие $t \ge 0$. Если $t \ge 0$, то $x = t^{\frac{1}{8}} \ge 0$ и $y = t^{\frac{1}{6}} \ge 0$.

Ответ: $y = x^{\frac{4}{3}}$ при $x \ge 0$.

3) Даны параметрические уравнения: $x = 3t^{\frac{1}{2}}$ и $y = 2t^{-\frac{1}{2}}$. Выразим $t^{\frac{1}{2}}$ и $t^{-\frac{1}{2}}$ из уравнений: Из первого уравнения: $t^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3}$. Из второго уравнения: $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{y}{2}$. Воспользуемся свойством степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В нашем случае $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$. Подставим выраженные части в это равенство: $\frac{y}{2} = \frac{1}{x/3}$. $\frac{y}{2} = \frac{3}{x}$. Перемножив крест-накрест, получаем $xy = 6$, откуда $y = \frac{6}{x}$. Как и в пункте 1), параметр $\text{t}$ должен быть строго больше нуля ($t > 0$), поэтому $x = 3t^{\frac{1}{2}} > 0$ и $y = 2t^{-\frac{1}{2}} > 0$.

Ответ: $y = \frac{6}{x}$ при $x>0$.

4) Даны параметрические уравнения: $x = 0,5t^{-\frac{1}{2}}$ и $y = 0,4t^{-\frac{1}{2}}$. В обоих уравнениях присутствует множитель $t^{-\frac{1}{2}}$. Выразим его из первого уравнения: $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{x}{0,5} = 2x$. Теперь подставим это выражение во второе уравнение вместо $t^{-\frac{1}{2}}$: $y = 0,4 \cdot (2x)$. $y = 0,8x$. Поскольку $t^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{t}}$, параметр $\text{t}$ должен быть строго больше нуля ($t>0$). При $t>0$ величина $t^{-\frac{1}{2}}$ также будет строго больше нуля. Следовательно, $x=0,5t^{-\frac{1}{2}} > 0$ и $y=0,4t^{-\frac{1}{2}} > 0$.

Ответ: $y = 0,8x$ при $x>0$.