Номер 9.171, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.171-9.176 упростите выражения.

9.171.

1) $125^{\log_5 \sqrt{8}}$;

2) $2^{\log_2 5} - 5^{\log_5 2}$;

3) $10^{3 - \lg 4} - 49^{\log_7 15}$.

1) $125^{\log_5 \sqrt[4]{8}}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Сначала представим основание 125 как степень числа 5, а также корень как дробную степень.

1. Преобразуем основание степени: $125 = 5^3$.

2. Преобразуем аргумент логарифма: $\sqrt[4]{8} = 8^{1/4}$.

Подставим эти преобразования в исходное выражение:

$(5^3)^{\log_5 (8^{1/4})}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{3 \cdot \log_5 (8^{1/4})}$

Далее, применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:

$5^{\log_5 ((8^{1/4})^3)} = 5^{\log_5 (8^{3/4})}$

Теперь воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Выражение упрощается до:

$8^{3/4}$

Упростим полученный результат, представив 8 как $2^3$:

$8^{3/4} = (2^3)^{3/4} = 2^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 2^{9/4}$

Результат можно записать в виде смешанной степени или с использованием корня:

$2^{9/4} = 2^{2 + 1/4} = 2^2 \cdot 2^{1/4} = 4\sqrt[4]{2}$

Ответ: $4\sqrt[4]{2}$.

2) $2^{\log_{\sqrt{2}} 5} - 5^{\log_{\sqrt{5}} 2}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулу перехода к новому основанию в логарифме, в частности свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Рассмотрим первое слагаемое: $2^{\log_{\sqrt{2}} 5}$.

Основание логарифма $\sqrt{2}$ можно записать как $2^{1/2}$. Тогда:

$\log_{\sqrt{2}} 5 = \log_{2^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2} \log_2 5 = 2\log_2 5$.

Подставим это в первое слагаемое и используем свойства логарифмов и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 (5^2)} = 2^{\log_2 25} = 25$.

Рассмотрим второе слагаемое: $5^{\log_{\sqrt{5}} 2}$.

Аналогично, основание логарифма $\sqrt{5}$ можно записать как $5^{1/2}$. Тогда:

$\log_{\sqrt{5}} 2 = \log_{5^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_5 2 = 2\log_5 2$.

Подставим это во второе слагаемое:

$5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 (2^2)} = 5^{\log_5 4} = 4$.

Теперь вычтем второе значение из первого:

$25 - 4 = 21$.

Ответ: 21.

3) $10^{3-\lg 4} - 49^{\log_7 15}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое: $10^{3-\lg 4}$.

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$10^{3-\lg 4} = \frac{10^3}{10^{\lg 4}}$.

По определению десятичного логарифма, $\lg 4 = \log_{10} 4$. Тогда, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$10^{\lg 4} = 10^{\log_{10} 4} = 4$.

Следовательно, первое слагаемое равно:

$\frac{10^3}{4} = \frac{1000}{4} = 250$.

Рассмотрим второе слагаемое: $49^{\log_7 15}$.

Представим основание 49 как степень числа 7: $49 = 7^2$.

$49^{\log_7 15} = (7^2)^{\log_7 15}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:

$(7^2)^{\log_7 15} = 7^{2 \cdot \log_7 15} = 7^{\log_7 (15^2)} = 7^{\log_7 225}$.

По основному логарифмическому тождеству:

$7^{\log_7 225} = 225$.

Теперь вычтем второе слагаемое из первого:

$250 - 225 = 25$.

Ответ: 25.