Номер 9.173, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.171-9.176 упростите выражения.

9.173. 1) $\left( n^{\frac{\log_{100} m}{\lg m}} \cdot m^{\frac{\log_{100} n}{\lg n}} \right)^{2^{\log_a (m+n)}};$

2) $\sqrt{a^{1+\frac{1}{2\log_4 a}} + 8^{\frac{1}{3\log_a \sqrt{2}}} + 1}.$

1) Упростим выражение $ \left( n^{\frac{\log_{100} m}{\lg m}} \cdot m^{\frac{\log_{100} n}{\lg n}} \right)^{2 \log_{mn} (m+n)} $.

Область допустимых значений: $ m > 0, n > 0, m \neq 1, n \neq 1, mn \neq 1 $.

Сначала преобразуем показатели степеней в основании, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $. В выражении $ \lg x $ означает $ \log_{10} x $.

Рассмотрим первый показатель: $ \frac{\log_{100} m}{\lg m} $.

$ \log_{100} m = \frac{\lg m}{\lg 100} = \frac{\lg m}{\lg 10^2} = \frac{\lg m}{2} $.

Подставим это в показатель: $ \frac{\log_{100} m}{\lg m} = \frac{\frac{\lg m}{2}}{\lg m} = \frac{1}{2} $.

Аналогично для второго показателя: $ \frac{\log_{100} n}{\lg n} = \frac{\frac{\lg n}{\lg 100}}{\lg n} = \frac{\frac{\lg n}{2}}{\lg n} = \frac{1}{2} $.

Теперь подставим упрощенные показатели в исходное выражение: $ \left( n^{\frac{1}{2}} \cdot m^{\frac{1}{2}} \right)^{2 \log_{mn} (m+n)} = \left( (mn)^{\frac{1}{2}} \right)^{2 \log_{mn} (m+n)} $.

Используя свойство степени $ (a^x)^y = a^{xy} $, получаем: $ (mn)^{\frac{1}{2} \cdot 2 \log_{mn} (m+n)} = (mn)^{\log_{mn} (m+n)} $.

Применим основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $: $ (mn)^{\log_{mn} (m+n)} = m+n $.

Ответ: $ m+n $.

2) Упростим выражение $ \sqrt{a^{1 + \frac{1}{2\log_4 a}} + 8^{\frac{1}{3\log_a \sqrt{2}}} + 1} $.

Область допустимых значений: $ a > 0, a \neq 1 $.

Упростим каждое слагаемое под корнем по отдельности.

1. Первое слагаемое: $ a^{1 + \frac{1}{2\log_4 a}} $.

Преобразуем показатель степени, используя свойство $ \frac{1}{\log_b c} = \log_c b $: $ 1 + \frac{1}{2\log_4 a} = 1 + \frac{1}{2}\log_a 4 = 1 + \frac{1}{2}\log_a 2^2 = 1 + \frac{1}{2} \cdot 2\log_a 2 = 1 + \log_a 2 $.

Представим $ 1 $ как $ \log_a a $: $ \log_a a + \log_a 2 = \log_a(2a) $.

Таким образом, первое слагаемое равно: $ a^{1 + \frac{1}{2\log_4 a}} = a^{\log_a(2a)} = 2a $ (по основному логарифмическому тождеству $ b^{\log_b c}=c $).

2. Второе слагаемое: $ 8^{\frac{1}{3\log_a \sqrt{2}}} $.

Преобразуем показатель степени: $ \frac{1}{3\log_a \sqrt{2}} = \frac{1}{3\log_a 2^{1/2}} = \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{2} \log_a 2} = \frac{1}{\frac{3}{2}\log_a 2} = \frac{2}{3\log_a 2} = \frac{2}{3}\log_2 a $.

Теперь преобразуем само слагаемое, зная что $ 8 = 2^3 $: $ 8^{\frac{1}{3\log_a \sqrt{2}}} = 8^{\frac{2}{3}\log_2 a} = (2^3)^{\frac{2}{3}\log_2 a} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}\log_2 a} = 2^{2\log_2 a} = 2^{\log_2 a^2} $.

По основному логарифмическому тождеству: $ 2^{\log_2 a^2} = a^2 $.

3. Подставим упрощенные слагаемые в выражение под корнем: $ \sqrt{2a + a^2 + 1} = \sqrt{a^2 + 2a + 1} $.

Выражение $ a^2 + 2a + 1 $ является полным квадратом суммы $ (a+1)^2 $. $ \sqrt{(a+1)^2} = |a+1| $.

Так как по области определения $ a > 0 $, то $ a+1 $ всегда положительно, следовательно $ |a+1| = a+1 $.

Ответ: $ a+1 $.