Номер 9.172, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.171-9.176 упростите выражения.

9.172.

1) $\sqrt{10^{2+\frac{1}{2} \lg 16}}$;

2) $81^{\frac{1}{\log_3 8}} + 27^{\log_9 36} + 3^{\frac{4}{\log_7 9}}$.

1)Упростим выражение $\sqrt{10^{2+\frac{1}{2}\lg{16}}}$.

Сначала преобразуем показатель степени, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$\sqrt{10^2 \cdot 10^{\frac{1}{2}\lg{16}}}$

Теперь упростим множитель $10^{\frac{1}{2}\lg{16}}$. Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, а затем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$10^{\frac{1}{2}\lg{16}} = 10^{\lg{16^{1/2}}} = 10^{\lg{\sqrt{16}}} = 10^{\lg{4}} = 4$

Подставим полученное значение обратно в выражение под корнем:

$\sqrt{10^2 \cdot 4} = \sqrt{100 \cdot 4} = \sqrt{400} = 20$

Ответ: 20

2)Упростим выражение $81^{\frac{1}{\log_8{3}}} + 27^{\log_9{36}} + 3^{\frac{4}{\log_7{9}}}$, разобрав каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $81^{\frac{1}{\log_8{3}}}$.

Используем свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$, чтобы преобразовать показатель:

$81^{\frac{1}{\log_8{3}}} = 81^{\log_3{8}}$

Так как $81 = 3^4$, получаем:

$(3^4)^{\log_3{8}} = 3^{4\log_3{8}} = 3^{\log_3{8^4}} = 8^4 = 4096$

Второе слагаемое: $27^{\log_9{36}}$.

Представим основание степени и основание логарифма как степени числа 3: $27=3^3$, $9=3^2$.

Используем формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:

$\log_9{36} = \frac{\log_3{36}}{\log_3{9}} = \frac{\log_3{36}}{2}$

Тогда:

$27^{\log_9{36}} = (3^3)^{\frac{1}{2}\log_3{36}} = 3^{\frac{3}{2}\log_3{36}} = 3^{\log_3{(36^{3/2})}} = 36^{3/2} = (\sqrt{36})^3 = 6^3 = 216$

Третье слагаемое: $3^{\frac{4}{\log_7{9}}}$.

Преобразуем показатель, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$3^{\frac{4}{\log_7{9}}} = 3^{4\log_9{7}}$

Приведем логарифм к основанию 3:

$3^{4 \cdot \frac{\log_3{7}}{\log_3{9}}} = 3^{4 \cdot \frac{\log_3{7}}{2}} = 3^{2\log_3{7}} = 3^{\log_3{7^2}} = 7^2 = 49$

Сложим полученные значения:

$4096 + 216 + 49 = 4361$

Ответ: 4361