Номер 9.178, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.178. 1) $4^{x+\sqrt{x^2-2}} - 5 \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-1}} = 6;$

2) $(\sqrt[6]{3})^x + (\sqrt[10]{3})^{x-10} = 84.$

1) $4^{x+\sqrt{x^2-2}} - 5 \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}-1} = 6$

Первым делом определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x^2-2 \ge 0$

$x^2 \ge 2$

$|x| \ge \sqrt{2}$, что эквивалентно $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Перепишем уравнение, используя в качестве основания степень 2, так как $4 = 2^2$:

$(2^2)^{x+\sqrt{x^2-2}} - 5 \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}} \cdot 2^{-1} = 6$

$2^{2(x+\sqrt{x^2-2})} - \frac{5}{2} \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}} - 6 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно выражения $2^{x+\sqrt{x^2-2}}$. Введем замену: пусть $y = 2^{x+\sqrt{x^2-2}}$. Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, то $y > 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - \frac{5}{2}y - 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$2y^2 - 5y - 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2-4ac = (-5)^2 - 4(2)(-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Так как мы установили, что $y>0$, корень $y_2 = -3/2$ является посторонним. Таким образом, подходит только $y_1=4$.

Выполним обратную замену:

$2^{x+\sqrt{x^2-2}} = 4$

$2^{x+\sqrt{x^2-2}} = 2^2$

Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:

$x + \sqrt{x^2-2} = 2$

$\sqrt{x^2-2} = 2-x$

Для того чтобы это иррациональное уравнение имело решение, правая часть должна быть неотрицательной: $2-x \ge 0$, что означает $x \le 2$. Совмещая это условие с ОДЗ, получаем, что искомый корень должен принадлежать множеству $(-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2-2} = 2-x$ в квадрат:

$(\sqrt{x^2-2})^2 = (2-x)^2$

$x^2-2 = 4 - 4x + x^2$

$-2 = 4 - 4x$

$4x = 6$

$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=1.5$ полученным ограничениям. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1.5$ принадлежит отрезку $[\sqrt{2}, 2]$. Следовательно, корень подходит.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

2) $(\sqrt[5]{3})^x + (\sqrt[10]{3})^{x-10} = 84$

Представим корни в виде степеней:

$(3^{1/5})^x + (3^{1/10})^{x-10} = 84$

$3^{x/5} + 3^{(x-10)/10} = 84$

Приведем степени к общему знаменателю показателя. Заметим, что $x/5 = 2x/10$. Тогда уравнение можно переписать так:

$3^{2x/10} + 3^{x/10 - 1} = 84$

$(3^{x/10})^2 + 3^{x/10} \cdot 3^{-1} = 84$

$(3^{x/10})^2 + \frac{1}{3} \cdot 3^{x/10} - 84 = 0$

Введем замену. Пусть $t = 3^{x/10}$. Так как $\text{t}$ является значением показательной функции, $t > 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $\text{t}$:

$t^2 + \frac{1}{3}t - 84 = 0$

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3t^2 + t - 252 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2-4ac = 1^2 - 4(3)(-252) = 1 + 3024 = 3025 = 55^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 55}{6} = \frac{54}{6} = 9$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 55}{6} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$

Поскольку $t>0$, корень $t_2$ не подходит. Остается $t_1 = 9$.

Вернемся к исходной переменной:

$3^{x/10} = 9$

$3^{x/10} = 3^2$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{x}{10} = 2$

$x = 20$

Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:

$(\sqrt[5]{3})^{20} + (\sqrt[10]{3})^{20-10} = 3^{20/5} + 3^{10/10} = 3^4 + 3^1 = 81 + 3 = 84$. Равенство выполняется.

Ответ: 20.