Номер 9.181, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.181. 1) $\log_5 x = \sqrt{\log_5 5x - \log_5 x}$;

2) $\sqrt{\log_{27} \frac{1}{3x^2} + \log_x 9} = 0$.

1) Дано уравнение: $ \log_5 x = \sqrt{\log_5 5x - \log_5 x} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.

2. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $ \log_5 5x - \log_5 x \ge 0 $.

3. Левая часть уравнения равна значению арифметического квадратного корня, следовательно, она должна быть неотрицательной: $ \log_5 x \ge 0 $.

Из условия $ \log_5 x \ge 0 $ следует, что $ x \ge 5^0 $, то есть $ x \ge 1 $. Это условие автоматически удовлетворяет требованию $ x > 0 $.

Рассмотрим условие для подкоренного выражения: $ \log_5 5x - \log_5 x = \log_5\left(\frac{5x}{x}\right) = \log_5 5 = 1 $. Так как $ 1 \ge 0 $, это условие выполняется для всех $\text{x}$ из области определения логарифмов.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x \ge 1 $.

Теперь решим уравнение. Упростим подкоренное выражение:

$ \log_5 5x - \log_5 x = \log_5\left(\frac{5x}{x}\right) = \log_5 5 = 1 $.

Уравнение принимает вид:

$ \log_5 x = \sqrt{1} $

$ \log_5 x = 1 $

По определению логарифма:

$ x = 5^1 = 5 $.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 5 \ge 1 $, корень $x=5$ является решением.

Ответ: 5.

2) Дано уравнение: $ \sqrt{\log_{27}\frac{1}{3x^2} + \log_x 9} = 0 $.

Квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под корнем равно нулю:

$ \log_{27}\frac{1}{3x^2} + \log_x 9 = 0 $.

Найдем ОДЗ.

1. Аргументы логарифмов должны быть положительны: $ \frac{1}{3x^2} > 0 $ (верно при $ x \ne 0 $) и $ 9 > 0 $ (верно).

2. Основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице: $ 27 > 0, 27 \ne 1 $ (верно) и $ x > 0, x \ne 1 $.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x > 0 $ и $ x \ne 1 $.

Для решения уравнения приведем логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3.

Преобразуем первый логарифм:

$ \log_{27}\frac{1}{3x^2} = \log_{3^3}(3x^2)^{-1} = -\frac{1}{3}\log_3(3x^2) = -\frac{1}{3}(\log_3 3 + \log_3 x^2) = -\frac{1}{3}(1 + 2\log_3 x) $.

Преобразуем второй логарифм:

$ \log_x 9 = \log_x 3^2 = 2\log_x 3 = 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x} = \frac{2}{\log_3 x} $.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$ -\frac{1}{3}(1 + 2\log_3 x) + \frac{2}{\log_3 x} = 0 $.

Сделаем замену переменной: пусть $ t = \log_3 x $. Поскольку $ x \ne 1 $, то $ t \ne \log_3 1 = 0 $.

$ -\frac{1}{3}(1 + 2t) + \frac{2}{t} = 0 $

$ -\frac{1}{3} - \frac{2t}{3} + \frac{2}{t} = 0 $.

Умножим обе части уравнения на $ 3t $ (так как $t \ne 0$):

$ -t - 2t^2 + 6 = 0 $

$ 2t^2 + t - 6 = 0 $.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 1^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $.

$ t_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = -2 $

$ t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $.

Выполним обратную замену:

1. $ \log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9} $.

2. $ \log_3 x = \frac{3}{2} \implies x = 3^{3/2} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $.

Оба найденных значения ($ \frac{1}{9} $ и $ 3\sqrt{3} $) положительны и не равны 1, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ \frac{1}{9}; 3\sqrt{3} $.