Номер 9.186, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.183-9.186 решите системы уравнений.

$ \begin{cases} \log_x y + \log_y x = 2, \\ x^2 + y = 42; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 6, \\ \log_4 x + \log_4 y = -3. \end{cases} $

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \log_x y + \log_y x = 2, \\ x^2 + y = 42. \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для существования логарифмов необходимо, чтобы основания были положительными и не равнялись единице, а аргументы логарифмов были строго положительными. Таким образом:

$x > 0, x \neq 1, y > 0, y \neq 1$.

Рассмотрим первое уравнение: $\log_x y + \log_y x = 2$.

Используем свойство логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$\log_x y + \frac{1}{\log_x y} = 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_x y$. Тогда уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$.

Умножим обе части на $\text{t}$ (по ОДЗ $y \neq 1$, значит $t = \log_x y \neq 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t - 1)^2 = 0$

Отсюда $t = 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$\log_x y = 1$

По определению логарифма это означает, что $y = x^1$, то есть $y = x$.

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы $x^2 + y = 42$:

$x^2 + x = 42$

$x^2 + x - 42 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются числа, произведение которых равно -42, а сумма -1. Это числа 6 и -7.

$x_1 = 6$, $x_2 = -7$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

$x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $\text{x}$ должен быть больше 0.

Следовательно, у нас есть единственное решение для $\text{x}$: $x = 6$.

Так как $y = x$, то $y = 6$.

Проверим найденное решение $(6, 6)$ на соответствие ОДЗ для $\text{y}$ ($y > 0, y \neq 1$). $y = 6$ удовлетворяет условиям.

Таким образом, решение системы — $(6, 6)$.

Ответ: $(6, 6)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 6, \\ \log_4 x + \log_4 y = -3. \end{cases} $

Найдем ОДЗ. Из-за наличия квадратных корней и логарифмов переменные $\text{x}$ и $\text{y}$ должны быть строго положительными:

$x > 0, y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_4 (xy) = -3$

По определению логарифма:

$xy = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 6, \\ xy = \frac{1}{64}. \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и $b = \frac{1}{\sqrt{y}}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $a > 0$ и $b > 0$.

Из замены выразим $\text{x}$ и $\text{y}$ через $\text{a}$ и $\text{b}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{a} \Rightarrow x = \frac{1}{a^2}$

$\sqrt{y} = \frac{1}{b} \Rightarrow y = \frac{1}{b^2}$

Подставим эти выражения в преобразованные уравнения системы:

Первое уравнение: $a + b = 6$.

Второе уравнение: $(\frac{1}{a^2})(\frac{1}{b^2}) = \frac{1}{64} \Rightarrow \frac{1}{(ab)^2} = \frac{1}{64} \Rightarrow (ab)^2 = 64$.

Поскольку $a>0$ и $b>0$, их произведение $ab$ также положительно, поэтому $ab = 8$.

Получили новую систему для $\text{a}$ и $\text{b}$:

$ \begin{cases} a + b = 6, \\ ab = 8. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $\text{a}$ и $\text{b}$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 6z + 8 = 0$.

Решим это уравнение. Корнями являются $z_1 = 2$ и $z_2 = 4$.

Это дает нам два возможных случая:

Случай 1: $a = 2, b = 4$.

Случай 2: $a = 4, b = 2$.

Рассмотрим каждый случай и найдем $\text{x}$ и $\text{y}$.

Случай 1: $a = 2, b = 4$.

$x = \frac{1}{a^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$y = \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Получили решение $(\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.

Случай 2: $a = 4, b = 2$.

$x = \frac{1}{a^2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

$y = \frac{1}{b^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Получили решение $(\frac{1}{16}, \frac{1}{4})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}), (\frac{1}{16}, \frac{1}{4})$.