Номер 9.187, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.187. При каких значениях параметра $\text{a}$ уравнение $x^2 - 4x - \log_2 a = 0$ имеет действительные корни?

Данное уравнение $x^2 - 4x - \log_{2}a = 0$ является квадратным уравнением относительно переменной $\text{x}$. Прежде всего, отметим область допустимых значений для параметра $\text{a}$. Поскольку в уравнении присутствует $\log_{2}a$, аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $\text{a}$: $a > 0$.

Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $\text{D}$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $A = 1$, $B = -4$, $C = -\log_{2}a$.

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\log_{2}a) = 16 + 4\log_{2}a$.

Теперь решим неравенство $D \ge 0$:

$16 + 4\log_{2}a \ge 0$

$4\log_{2}a \ge -16$

$\log_{2}a \ge -4$

Чтобы решить это логарифмическое неравенство, представим $-4$ как логарифм с основанием 2:

$-4 = \log_{2}(2^{-4}) = \log_{2}(\frac{1}{16})$.

Тогда неравенство принимает вид:

$\log_{2}a \ge \log_{2}(\frac{1}{16})$

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$a \ge \frac{1}{16}$

Полученное условие $a \ge \frac{1}{16}$ нужно совместить с первоначальным ограничением из ОДЗ ($a > 0$). Так как любое число, большее или равное $\frac{1}{16}$, также больше нуля, то итоговым условием является $a \ge \frac{1}{16}$.

Ответ: $a \in [\frac{1}{16}; +\infty)$.