Номер 9.183, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.183-9.186 решите системы уравнений.

9.183. 1) $\begin{cases} 2^x + 2^y = 5, \\ 2^{x+y} = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}} (y - x) = 4. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^x + 2^y = 5, \\ 2^{x+y} = 4; \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение системы. Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, запишем его как $2^x \cdot 2^y = 4$.

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 2^x + 2^y = 5, \\ 2^x \cdot 2^y = 4. \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 2^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Система для новых переменных $\text{a}$ и $\text{b}$ выглядит так:

$\begin{cases} a + b = 5, \\ a \cdot b = 4. \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $\text{a}$ и $\text{b}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$ и $t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.

Таким образом, для пары $(a, b)$ возможны два варианта: $(1, 4)$ или $(4, 1)$.

Случай 1: $a = 1$ и $b = 4$.

Выполняем обратную замену:

$2^x = a = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

$2^y = b = 4 \implies 2^y = 2^2 \implies y = 2$.

Получаем решение $(0, 2)$.

Случай 2: $a = 4$ и $b = 1$.

Выполняем обратную замену:

$2^x = a = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.

$2^y = b = 1 \implies 2^y = 2^0 \implies y = 0$.

Получаем решение $(2, 0)$.

Ответ: $(0, 2), (2, 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4. \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение. По определению логарифма, оно эквивалентно уравнению $y - x = (\sqrt{2})^4$. При этом должно выполняться условие $y - x > 0$.

Вычислим правую часть: $(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$.

Таким образом, $y - x = 4$, откуда можно выразить $\text{y}$: $y = x + 4$.

Подставим это выражение для $\text{y}$ в первое уравнение системы:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$.

Используя свойства степеней, преобразуем левую часть:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$.

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$.

$6^x \cdot 16 = 576$.

Разделим обе части уравнения на 16:

$6^x = \frac{576}{16} = 36$.

Итак, $6^x = 36$. Поскольку $36 = 6^2$, имеем $6^x = 6^2$, откуда $x = 2$.

Теперь найдем $\text{y}$, используя ранее полученное соотношение $y = x + 4$:

$y = 2 + 4 = 6$.

Получено решение $(2, 6)$. Выполним проверку.

Проверка условия для логарифма: $y - x = 6 - 2 = 4 > 0$. Условие выполнено.

Проверка первого уравнения: $3^2 \cdot 2^6 = 9 \cdot 64 = 576$. Верно.

Проверка второго уравнения: $\log_{\sqrt{2}}(6 - 2) = \log_{\sqrt{2}}(4)$. Так как $(\sqrt{2})^4 = 4$, то $\log_{\sqrt{2}}(4) = 4$. Верно.

Ответ: $(2, 6)$.