Номер 9.176, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.171-9.176 упростите выражения.

9.176. 1) $3^{8x - 4} = 9^{2x - 2}$; 2) $2^{2x - 3} = 4^{x^2 - 3x - 1}$.

1) $3^{|3x-4|} = 9^{2x-2}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 3, поскольку $9 = 3^2$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$9^{2x-2} = (3^2)^{2x-2} = 3^{2(2x-2)} = 3^{4x-4}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$3^{|3x-4|} = 3^{4x-4}$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$|3x-4| = 4x-4$.

Это уравнение, содержащее модуль. По определению, значение модуля всегда неотрицательно, то есть $|3x-4| \ge 0$. Следовательно, для существования решений необходимо, чтобы правая часть уравнения также была неотрицательной. Это дает нам ограничение на $\text{x}$:

$4x-4 \ge 0$

$4x \ge 4$

$x \ge 1$.

Теперь решим уравнение $|3x-4| = 4x-4$, раскрыв модуль. Для этого рассмотрим два случая.

Случай 1: Выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $3x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4/3$.

В этом случае $|3x-4| = 3x-4$. Уравнение принимает вид:

$3x-4 = 4x-4$.

Решая это линейное уравнение, получаем $x = 0$.

Однако, найденный корень $x=0$ не удовлетворяет ни условию этого случая ($x \ge 4/3$), ни общему ограничению ($x \ge 1$). Следовательно, $x=0$ не является решением.

Случай 2: Выражение под знаком модуля отрицательно, то есть $3x-4 < 0$, откуда $x < 4/3$.

В этом случае $|3x-4| = -(3x-4) = 4-3x$. Уравнение принимает вид:

$4-3x = 4x-4$.

Соберем слагаемые с $\text{x}$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$4+4 = 4x+3x$

$8 = 7x$

$x = 8/7$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = 8/7$ условиям. Условие этого случая: $x < 4/3$. Сравним $8/7$ и $4/3$: $8/7 \approx 1.14$, а $4/3 \approx 1.33$, так что $8/7 < 4/3$. Условие выполняется. Также необходимо проверить общее ограничение $x \ge 1$. Так как $8/7 > 1$, это условие тоже выполняется.

Таким образом, $x = 8/7$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $8/7$.

2) $2^{2x-3} = 4^{x^2-3x-1}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к основанию 2. Заметим, что $4 = 2^2$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$4^{x^2-3x-1} = (2^2)^{x^2-3x-1} = 2^{2(x^2-3x-1)} = 2^{2x^2-6x-2}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{2x-3} = 2^{2x^2-6x-2}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x-3 = 2x^2-6x-2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 - 6x - 2 - (2x-3) = 0$

$2x^2 - 6x - 2 - 2x + 3 = 0$

$2x^2 - 8x + 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы для корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. В нашем уравнении коэффициенты равны $a=2$, $b=-8$, $c=1$.

Сначала вычислим дискриминант $\text{D}$:

$D = b^2-4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 64 - 8 = 56$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{56}}{4}$.

Упростим выражение для корней. Для этого представим $\sqrt{56}$ как $\sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$:

$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{14}}{4}$.

Разделим числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{2(4 \pm \sqrt{14})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{14}}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{4 - \sqrt{14}}{2}; \frac{4 + \sqrt{14}}{2}$.