Номер 9.175, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.171-9.176 упростите выражения.

9.175. 1) $2^{3x} = 512^{\frac{1}{3x}};$

2) $(0,2)^{x+1} = 5.$

3) $\log_{0,3}(5-x) = -1;$

4) $\log_{8}(2x+3) = 0.$

1) Исходное уравнение: $2^{3x} = 512^{\frac{1}{3x}}$.

Для решения показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что $512 = 2^9$.

Подставим это в уравнение:

$2^{3x} = (2^9)^{\frac{1}{3x}}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{3x} = 2^{9 \cdot \frac{1}{3x}}$

$2^{3x} = 2^{\frac{9}{3x}}$

Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$3x = \frac{9}{3x}$

Необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $3x \neq 0$, откуда $x \neq 0$.

Решим уравнение для $\text{x}$:

$3x \cdot 3x = 9$

$9x^2 = 9$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \neq 0$.

Ответ: $x = \pm 1$.

2) Исходное уравнение: $(0,2)^{x+1} = 5$.

Представим основание $0,2$ в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием 5:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(5^{-1})^{x+1} = 5^1$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть:

$5^{-(x+1)} = 5^1$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$-(x+1) = 1$

$-x - 1 = 1$

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

3) Исходное уравнение: $\log_{0,3}(5-x) = -1$.

Согласно определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению:

$5 - x = (0,3)^{-1}$

Преобразуем правую часть уравнения:

$(0,3)^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$5 - x = \frac{10}{3}$

Выразим $\text{x}$:

$x = 5 - \frac{10}{3} = \frac{15}{3} - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$

Необходимо также проверить область допустимых значений логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

$5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$

Полученное значение $x = \frac{5}{3}$ удовлетворяет этому условию, так как $\frac{5}{3} < 5$.

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.

4) Исходное уравнение: $\log_{8}(2x+3) = 0$.

Воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c \Leftrightarrow a = b^c$.

$2x+3 = 8^0$

Так как любое число в нулевой степени равно 1, получаем:

$2x+3 = 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$2x = 1 - 3$

$2x = -2$

$x = -1$

Проверим область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$2x+3 > 0$

$2x > -3$

$x > -\frac{3}{2}$

Найденный корень $x = -1$ удовлетворяет этому условию, так как $-1 > -1,5$.

Ответ: $x = -1$.