Номер 9.177, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.177. 1) $ \log_3 (\log_2^2(x-4)) = 0; $

2) $ \log_8 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5. $

1) $\log_3 \log_2^2(x-4) = 0$

Данное уравнение можно записать в виде $\log_3((\log_2(x-4))^2) = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

1. Для внешнего логарифма с основанием 3, его аргумент должен быть положительным: $(\log_2(x-4))^2 > 0$. Это неравенство выполняется, когда $\log_2(x-4) \neq 0$. Отсюда следует, что $x-4 \neq 2^0$, то есть $x-4 \neq 1$, что означает $x \neq 5$.

2. Для внутреннего логарифма с основанием 2, его аргумент должен быть положительным: $x-4 > 0$, что означает $x > 4$.

Таким образом, объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (4, 5) \cup (5, \infty)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Согласно определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$.

Применяя это правило к исходному уравнению, получаем:

$(\log_2(x-4))^2 = 3^0$

$(\log_2(x-4))^2 = 1$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, мы получаем два возможных случая:

Случай 1: $\log_2(x-4) = 1$.

По определению логарифма: $x-4 = 2^1$, то есть $x-4 = 2$.

Отсюда $x = 4 + 2 = 6$.

Случай 2: $\log_2(x-4) = -1$.

По определению логарифма: $x-4 = 2^{-1}$, то есть $x-4 = \frac{1}{2}$.

Отсюда $x = 4 + \frac{1}{2} = 4.5$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x = 6$ удовлетворяет условиям $6 > 4$ и $6 \neq 5$, следовательно, он является решением.

Корень $x = 4.5$ удовлетворяет условиям $4.5 > 4$ и $4.5 \neq 5$, следовательно, он также является решением.

Ответ: $4.5; 6$.

2) $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент $\text{x}$ у всех логарифмов должен быть строго положительным: $x > 0$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Поскольку $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$, мы можем переписать логарифмы:

$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$.

$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = 5.5$.

Для удобства введем замену: пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{2}y + \frac{1}{3}y = 5.5$.

Вынесем $\text{y}$ за скобки:

$y(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = 5.5$.

Вычислим сумму в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$.

Теперь уравнение выглядит так: $y \cdot \frac{11}{6} = 5.5$.

Представим десятичное число $5.5$ в виде обыкновенной дроби: $5.5 = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}$.

$y \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{2}$.

Чтобы найти $\text{y}$, разделим обе части на $\frac{11}{6}$:

$y = \frac{11}{2} \div \frac{11}{6} = \frac{11}{2} \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{2} = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной, выполнив обратную замену $y = \log_3 x$:

$\log_3 x = 3$.

По определению логарифма, $x = 3^3$.

$x = 27$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x > 0$ выполнено, так как $27 > 0$.

Ответ: $27$.