Номер 9.168, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.168. Сравните числа:

1) $log_5 2$ и $log_{25} 8$;

2) $log_5 \frac{1}{625}$ и $log_3 \frac{1}{27}$.

1) Чтобы сравнить числа $log_5 2$ и $log_{25} 8$, приведем их к одному основанию. Удобнее всего привести второй логарифм к основанию 5.

Используем формулу перехода к новому основанию в виде $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$.

Представим основание второго логарифма как степень числа 5: $25 = 5^2$.

Тогда:

$log_{25} 8 = log_{5^2} 8 = \frac{1}{2} log_5 8$

Теперь внесем коэффициент $\frac{1}{2}$ под знак логарифма, используя свойство $c \cdot log_a b = log_a b^c$:

$\frac{1}{2} log_5 8 = log_5 8^{\frac{1}{2}} = log_5 \sqrt{8}$

Задача свелась к сравнению двух логарифмов с одинаковым основанием: $log_5 2$ и $log_5 \sqrt{8}$.

Логарифмическая функция $y = log_5 x$ является возрастающей, так как ее основание $5 > 1$. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.

Сравним аргументы: $\text{2}$ и $\sqrt{8}$. Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты:

$2^2 = 4$

$(\sqrt{8})^2 = 8$

Поскольку $4 < 8$, то и $2 < \sqrt{8}$.

Так как функция $y = log_5 x$ возрастающая и $2 < \sqrt{8}$, мы можем заключить, что $log_5 2 < log_5 \sqrt{8}$.

Подставляя обратно исходное выражение, получаем:

$log_5 2 < log_{25} 8$

Ответ: $log_5 2 < log_{25} 8$.

2) Чтобы сравнить числа $log_5 \frac{1}{625}$ и $log_3 \frac{1}{27}$, вычислим значение каждого из них.

Вычислим первый логарифм. По определению, $log_a b$ - это степень, в которую нужно возвести $\text{a}$, чтобы получить $\text{b}$.

Найдем $log_5 \frac{1}{625}$. Нам нужно найти такое число $\text{x}$, что $5^x = \frac{1}{625}$.

Так как $625 = 5^4$, то $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.

Следовательно, $5^x = 5^{-4}$, откуда $x = -4$.

Таким образом, $log_5 \frac{1}{625} = -4$.

Теперь вычислим второй логарифм $log_3 \frac{1}{27}$. Найдем такое число $\text{y}$, что $3^y = \frac{1}{27}$.

Так как $27 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Следовательно, $3^y = 3^{-3}$, откуда $y = -3$.

Таким образом, $log_3 \frac{1}{27} = -3$.

Теперь сравним полученные значения: $-4$ и $-3$.

Так как $-4 < -3$, то и $log_5 \frac{1}{625} < log_3 \frac{1}{27}$.

Ответ: $log_5 \frac{1}{625} < log_3 \frac{1}{27}$.