Номер 9.166, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.166. Сравните числа:

1) $2^{1.5}$ и $2^{\sqrt{5}};$

2) $3^{-0.1}$ и $3^0;$

3) $2^{\frac{1}{7}}$ и $2^{0.143}.$

1) Чтобы сравнить числа $2^{1.5}$ и $2^{\sqrt{5}}$, мы используем свойство показательной функции $y=a^x$. Основание степени $a=2$, что больше 1. Функция с основанием больше 1 является возрастающей, то есть большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели степеней: $1.5$ и $\sqrt{5}$. Оба числа положительные, поэтому мы можем сравнить их квадраты, чтобы определить, какое из них больше.

$(1.5)^2 = 2.25$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $2.25 < 5$, то и $1.5 < \sqrt{5}$.

Так как показательная функция $y=2^x$ возрастающая, из того, что $1.5 < \sqrt{5}$, следует, что $2^{1.5} < 2^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $2^{1.5} < 2^{\sqrt{5}}$.

2) Для сравнения чисел $3^{-0.1}$ и $3^0$ рассмотрим показательную функцию $y=3^x$. Основание $a=3 > 1$, значит, функция возрастающая.

Сравним показатели степеней: $-0.1$ и $\text{0}$.

Очевидно, что $-0.1 < 0$.

Поскольку функция возрастающая, из неравенства $-0.1 < 0$ следует, что $3^{-0.1} < 3^0$.

Ответ: $3^{-0.1} < 3^0$.

3) Чтобы сравнить числа $2^{\frac{1}{7}}$ и $2^{0.143}$, рассмотрим показательную функцию $y=2^x$. Основание $a=2 > 1$, следовательно, функция является возрастающей.

Сравним показатели степеней: $\frac{1}{7}$ и $0.143$.

Для этого преобразуем дробь $\frac{1}{7}$ в десятичную. Разделив 1 на 7, получим бесконечную периодическую дробь:

$\frac{1}{7} = 0.142857...$

Теперь сравним $0.142857...$ и $0.143$.

Видно, что $0.142857... < 0.143$, так как в разряде тысячных у первого числа стоит 2, а у второго 3.

Следовательно, $\frac{1}{7} < 0.143$.

Так как функция $y=2^x$ возрастающая, из неравенства $\frac{1}{7} < 0.143$ следует, что $2^{\frac{1}{7}} < 2^{0.143}$.

Ответ: $2^{\frac{1}{7}} < 2^{0.143}$.