Номер 9.161, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.158-9.163 упростите выражения.

9.161. 1) $\sqrt{\sqrt[8]{y^2} \cdot \sqrt[4]{y^{-a}}}$;

2) $\sqrt[7]{x^4} : \sqrt[14]{x}$;

3) $\sqrt[5]{m^2\sqrt{m}} : \sqrt[3]{m^2\sqrt{m}}$.

1)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{y^2 \cdot \sqrt[4]{y^{-3}}}$, воспользуемся свойствами корней и степеней. Сначала представим корни в виде степеней с дробными показателями.

Внутренний корень $\sqrt[4]{y^{-3}}$ можно записать как $y^{-3/4}$.

Тогда выражение под кубическим корнем принимает вид: $y^2 \cdot y^{-3/4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$y^2 \cdot y^{-3/4} = y^{2 + (-3/4)} = y^{2 - 3/4} = y^{8/4 - 3/4} = y^{5/4}$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt[3]{y^{5/4}}$.

Снова перейдем от корня к степени: $\sqrt[3]{y^{5/4}} = (y^{5/4})^{1/3}$.

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$(y^{5/4})^{1/3} = y^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = y^{\frac{5}{12}}$.

Это выражение можно записать в виде корня: $y^{5/12} = \sqrt[12]{y^5}$.

Ответ: $\sqrt[12]{y^5}$.

2)

Упростим выражение $\sqrt[7]{x^4} : \sqrt[14]{x}$.

Представим каждый корень в виде степени с рациональным показателем:

$\sqrt[7]{x^4} = x^{4/7}$

$\sqrt[14]{x} = x^{1/14}$

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием. При делении показатели вычитаются:

$x^{4/7} : x^{1/14} = x^{\frac{4}{7} - \frac{1}{14}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 14:

$\frac{4}{7} - \frac{1}{14} = \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{14} = \frac{8}{14} - \frac{1}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, выражение равно $x^{1/2}$.

Запишем результат в виде корня: $x^{1/2} = \sqrt{x}$.

Ответ: $\sqrt{x}$.

3)

Упростим выражение $\sqrt[b]{m^2 \sqrt{m}} : \sqrt[2b]{m^2 \sqrt{m}}$.

Сначала упростим выражение $m^2 \sqrt{m}$, стоящее под знаками корней.

$\sqrt{m} = m^{1/2}$, поэтому $m^2 \sqrt{m} = m^2 \cdot m^{1/2}$.

При умножении степеней показатели складываются: $m^{2 + 1/2} = m^{4/2 + 1/2} = m^{5/2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[b]{m^{5/2}} : \sqrt[2b]{m^{5/2}}$.

Представим корни в виде степеней:

$\sqrt[b]{m^{5/2}} = (m^{5/2})^{1/b} = m^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{b}} = m^{\frac{5}{2b}}$.

$\sqrt[2b]{m^{5/2}} = (m^{5/2})^{1/(2b)} = m^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2b}} = m^{\frac{5}{4b}}$.

Теперь выполним деление:

$m^{\frac{5}{2b}} : m^{\frac{5}{4b}} = m^{\frac{5}{2b} - \frac{5}{4b}}$.

Вычислим разность в показателе степени, приведя дроби к общему знаменателю $4b$:

$\frac{5}{2b} - \frac{5}{4b} = \frac{5 \cdot 2}{2b \cdot 2} - \frac{5}{4b} = \frac{10}{4b} - \frac{5}{4b} = \frac{10-5}{4b} = \frac{5}{4b}$.

Результат: $m^{\frac{5}{4b}}$.

Запишем его в виде корня: $m^{\frac{5}{4b}} = \sqrt[4b]{m^5}$.

Ответ: $\sqrt[4b]{m^5}$.