Номер 9.185, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.183-9.186 решите системы уравнений.

9.185. 1) $\begin{cases} 3^{\lg x} = 4^{\lg y}, \\ (4x)^{\lg 4} = (3y)^{\lg 8}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^y = 243, \\ \sqrt[y]{1024} = \left(\frac{2x}{3}\right)^2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3^{\lg x} = 4^{\lg y} \\ (4x)^{\lg 4} = (3y)^{\lg 3} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы: $x > 0$ и $y > 0$, так как аргументы логарифмов должны быть положительными.

Прологарифмируем обе части первого уравнения по основанию 10:

$\lg(3^{\lg x}) = \lg(4^{\lg y})$

Используя свойство логарифма степени $\lg(a^b) = b \cdot \lg a$, получаем:

$(\lg x) \cdot (\lg 3) = (\lg y) \cdot (\lg 4)$

Теперь прологарифмируем обе части второго уравнения по основанию 10:

$\lg((4x)^{\lg 4}) = \lg((3y)^{\lg 3})$

Снова используем свойство логарифма степени:

$(\lg 4) \cdot \lg(4x) = (\lg 3) \cdot \lg(3y)$

Используя свойство логарифма произведения $\lg(ab) = \lg a + \lg b$, раскрываем скобки:

$(\lg 4) \cdot (\lg 4 + \lg x) = (\lg 3) \cdot (\lg 3 + \lg y)$

$(\lg 4)^2 + (\lg 4)(\lg x) = (\lg 3)^2 + (\lg 3)(\lg y)$

Мы получили систему двух уравнений относительно $\lg x$ и $\lg y$. Для удобства введем замены: $A = \lg x$ и $B = \lg y$.

$\begin{cases} A \cdot \lg 3 = B \cdot \lg 4 \\ (\lg 4)^2 + A \cdot \lg 4 = (\lg 3)^2 + B \cdot \lg 3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $\text{B}$ через $\text{A}$:

$B = A \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\lg 4)^2 + A \cdot \lg 4 = (\lg 3)^2 + \left(A \frac{\lg 3}{\lg 4}\right) \cdot \lg 3$

$(\lg 4)^2 + A \cdot \lg 4 = (\lg 3)^2 + A \frac{(\lg 3)^2}{\lg 4}$

Сгруппируем слагаемые с $\text{A}$ и без $\text{A}$:

$(\lg 4)^2 - (\lg 3)^2 = A \frac{(\lg 3)^2}{\lg 4} - A \cdot \lg 4$

$(\lg 4 - \lg 3)(\lg 4 + \lg 3) = A \left(\frac{(\lg 3)^2 - (\lg 4)^2}{\lg 4}\right)$

$(\lg 4 - \lg 3)(\lg 4 + \lg 3) = -A \frac{(\lg 4 - \lg 3)(\lg 4 + \lg 3)}{\lg 4}$

Так как $\lg 4 \neq \lg 3$ и $\lg 4 \neq -\lg 3$, мы можем разделить обе части на $(\lg 4 - \lg 3)(\lg 4 + \lg 3)$:

$1 = - \frac{A}{\lg 4}$

Отсюда $A = -\lg 4$.

Теперь найдем $\text{B}$:

$B = A \frac{\lg 3}{\lg 4} = (-\lg 4) \frac{\lg 3}{\lg 4} = -\lg 3$

Вернемся к исходным переменным:

$A = \lg x \implies \lg x = -\lg 4 = \lg(4^{-1}) = \lg\left(\frac{1}{4}\right)$. Следовательно, $x = \frac{1}{4}$.

$B = \lg y \implies \lg y = -\lg 3 = \lg(3^{-1}) = \lg\left(\frac{1}{3}\right)$. Следовательно, $y = \frac{1}{3}$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Выполним проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения.

Первое уравнение: $3^{\lg(1/4)} = 4^{\lg(1/3)} \implies 3^{-\lg 4} = 4^{-\lg 3}$. Это эквивалентно $1/3^{\lg 4} = 1/4^{\lg 3}$, или $3^{\lg 4} = 4^{\lg 3}$. Равенство выполняется согласно свойству $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$.

Второе уравнение: $(4 \cdot \frac{1}{4})^{\lg 4} = (3 \cdot \frac{1}{3})^{\lg 3} \implies 1^{\lg 4} = 1^{\lg 3}$, или $1=1$. Равенство выполняется.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{1}{3})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^y = 243 \\ \sqrt[y]{1024} = \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x>0$. Из второго уравнения $\sqrt[y]{1024}$ следует, что $y \neq 0$.

Заметим, что $243 = 3^5$ и $1024 = 2^{10}$. Перепишем систему, представив корень в виде степени:

$\begin{cases} x^y = 3^5 \\ (2^{10})^{1/y} = \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$2^{10/y} = \frac{4x^2}{9}$

Из первого уравнения выразим $\text{x}$ через $\text{y}$:

$x = (3^5)^{1/y} = 3^{5/y}$

Подставим это выражение для $\text{x}$ во второе уравнение:

$2^{10/y} = \frac{4 \cdot (3^{5/y})^2}{9}$

$2^{10/y} = \frac{4 \cdot 3^{2 \cdot (5/y)}}{9}$

$2^{10/y} = \frac{4 \cdot 3^{10/y}}{9}$

Разделим обе части уравнения на $3^{10/y}$ (это возможно, так как $3^{10/y} \neq 0$):

$\frac{2^{10/y}}{3^{10/y}} = \frac{4}{9}$

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$, получаем:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{10/y} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять показатели:

$\frac{10}{y} = 2$

Отсюда находим $\text{y}$:

$10 = 2y \implies y = 5$

Теперь, зная $\text{y}$, найдем $\text{x}$ из первого уравнения системы:

$x^y = 243 \implies x^5 = 3^5$

Так как показатель степени нечетный, существует только один действительный корень:

$x = 3$

Получили решение $(3; 5)$. Проверим его.

Первое уравнение: $3^5 = 243$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt[5]{1024} = \left(\frac{2 \cdot 3}{3}\right)^2 \implies \sqrt[5]{1024} = 2^2 \implies \sqrt[5]{2^{10}} = 4 \implies 2^{10/5} = 4 \implies 2^2 = 4$. Верно.

Ответ: $(3; 5)$.