Номер 9.192, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.190-9.194 решите неравенства.

9.192. 1) $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x < \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} (5x+24)$;

2) $\lg(x-2) + \lg(27-x) \leq 2$.

1)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x < \log_{\frac{1}{3}}(5x+24)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, что приводит к системе неравенств: $x > 0$ и $5x + 24 > 0$.

Из второго неравенства $5x > -24$ следует, что $x > -4.8$. Учитывая первое неравенство $x > 0$, получаем ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Далее приведем логарифмы к одному основанию. Заметим, что $\frac{1}{3} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$. Используя формулу перехода к другому основанию в логарифме $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, преобразуем логарифм в правой части неравенства:

$\log_{\frac{1}{3}}(5x+24) = \log_{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}(5x+24) = \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}(5x+24)$.

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x < \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}(5x+24)$

Умножим обе части на 2: $2\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x < \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}(5x+24)$.

Воспользуемся свойством степени логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$:

$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x^2 < \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}(5x+24)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 > 5x+24$

Решим полученное квадратное неравенство: $x^2 - 5x - 24 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 11}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 24$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, неравенство $x^2 - 5x - 24 > 0$ выполняется при $\text{x}$, находящихся вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -3) \cup (8, +\infty)$.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x > 0$).

Пересечением множеств $(-\infty, -3) \cup (8, +\infty)$ и $(0, +\infty)$ является интервал $(8, +\infty)$.

Ответ: $(8, +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\lg(x-2) + \lg(27-x) \le 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x - 2 > 0$ и $27 - x > 0$.

Из этих неравенств получаем $x > 2$ и $x < 27$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 27)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ для левой части неравенства:

$\lg((x-2)(27-x)) \le 2$

Представим число 2 в виде десятичного логарифма: $2 = 2 \cdot \lg(10) = \lg(10^2) = \lg(100)$.

Неравенство принимает вид: $\lg((x-2)(27-x)) \le \lg(100)$.

Основание десятичного логарифма $a=10$ больше 1, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$(x-2)(27-x) \le 100$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$27x - x^2 - 54 + 2x \le 100$

$-x^2 + 29x - 54 \le 100$

$-x^2 + 29x - 154 \le 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 - 29x + 154 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 29x + 154 = 0$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 154 = 841 - 616 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{29 - 15}{2} = 7$ и $x_2 = \frac{29 + 15}{2} = 22$.

Графиком функции $y = x^2 - 29x + 154$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 29x + 154 \ge 0$ выполняется, когда $\text{x}$ не находится между корнями: $x \in (-\infty, 7] \cup [22, +\infty)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x \in (2, 27)$) и найти пересечение с полученным решением.

Пересечение $(-\infty, 7]$ с $(2, 27)$ дает интервал $(2, 7]$.

Пересечение $[22, +\infty)$ с $(2, 27)$ дает интервал $[22, 27)$.

Объединяя эти два результата, получаем окончательное решение.

Ответ: $(2, 7] \cup [22, 27)$.