Номер 9.198, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.197-9.200 найдите производные функций.

9.198. 1) $y=x-3\sqrt{x}$;

2) $y = \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{3x^3}$.

1) Для нахождения производной функции $y = x - 3\sqrt{x}$ воспользуемся правилами дифференцирования. Сначала представим функцию в виде степенных выражений, чтобы было удобнее применять формулу производной степенной функции: $y = x^1 - 3x^{1/2}$.

Производная разности функций равна разности их производных. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной, получаем:

$y' = (x - 3\sqrt{x})' = (x^1)' - (3x^{1/2})' = 1 \cdot x^{1-1} - 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1}$.

Теперь упростим полученное выражение:

$y' = 1 \cdot x^0 - \frac{3}{2}x^{-1/2} = 1 - \frac{3}{2}x^{-1/2}$.

Поскольку $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$, окончательный вид производной будет:

$y' = 1 - \frac{3}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $1 - \frac{3}{2\sqrt{x}}$.

2) Найдем производную функции $y = \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{3x^3}$.

Сначала перепишем функцию, используя отрицательные степени, чтобы было удобнее применять правило дифференцирования степенной функции: $y = \frac{1}{2}x^{-2} - \frac{1}{3}x^{-3}$.

Применим правила дифференцирования. Производная разности равна разности производных, а константы выносятся за знак производной:

$y' = (\frac{1}{2}x^{-2} - \frac{1}{3}x^{-3})' = (\frac{1}{2}x^{-2})' - (\frac{1}{3}x^{-3})'$.

Теперь применим правило $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$y' = \frac{1}{2}(-2x^{-2-1}) - \frac{1}{3}(-3x^{-3-1}) = -x^{-3} + x^{-4}$.

Запишем результат в виде дробей, что является более стандартной формой записи:

$y' = -\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^3}$.

Ответ: $\frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^3}$.