Номер 9.197, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.197-9.200 найдите производные функций.

9.197. 1) $y = x^3 - 2x^2 + x - 1$;

2) $y = x^2 - \frac{1}{x^2}$.

1)

Дана функция $y = x^3 - 2x^2 + x - 1$.

Для нахождения производной функции воспользуемся правилом дифференцирования суммы/разности и формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная функции $\text{y}$ находится как сумма производных каждого слагаемого:

$y' = (x^3 - 2x^2 + x - 1)' = (x^3)' - (2x^2)' + (x)' - (1)'$.

Найдем производную для каждого члена полинома:

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$

$(2x^2)' = 2 \cdot (x^2)' = 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x$

$(x)' = (x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$

$(1)' = 0$ (производная константы равна нулю).

Теперь соберем все вместе:

$y' = 3x^2 - 4x + 1 - 0 = 3x^2 - 4x + 1$.

Ответ: $y' = 3x^2 - 4x + 1$.

2)

Дана функция $y = x^2 - \frac{1}{x^2}$.

Чтобы найти производную, сначала перепишем функцию, используя свойства степеней: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = x^2 - x^{-2}$.

Теперь применим правило дифференцирования разности и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (x^2 - x^{-2})' = (x^2)' - (x^{-2})'$.

Найдем производные для каждого члена:

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

$(x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3}$.

Подставим полученные значения в выражение для производной:

$y' = 2x - (-2x^{-3}) = 2x + 2x^{-3}$.

Вернемся к записи с дробным выражением:

$y' = 2x + \frac{2}{x^3}$.

Ответ: $y' = 2x + \frac{2}{x^3}$.