Номер 9.195, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.195. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{\lg (2^x - 3^x)}{\sqrt{11-9x-2x^2}}$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{8-\lg^3 (3x-2)}}$

1) Дана функция $y = \frac{\lg(2^x - 3^x)}{\sqrt{11 - 9x - 2x^2}}$.

Область определения функции (ОДЗ) находится из системы неравенств, учитывая, что:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Объединяя условия 2 и 3, получаем, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля. Таким образом, система неравенств для нахождения области определения выглядит так:

$ \begin{cases} 2^x - 3^x > 0 \\ 11 - 9x - 2x^2 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$2^x > 3^x$

Разделим обе части на $3^x$. Так как $3^x$ всегда положительно, знак неравенства не изменится.

$\frac{2^x}{3^x} > 1$

$(\frac{2}{3})^x > 1$

Представим 1 как $(\frac{2}{3})^0$:

$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^0$

Поскольку основание степени $\frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $f(t) = (\frac{2}{3})^t$ является убывающей. Поэтому при сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$x < 0$.

Решим второе неравенство:

$11 - 9x - 2x^2 > 0$

Умножим неравенство на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$2x^2 + 9x - 11 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 9x - 11 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-22}{4} = -5.5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Графиком функции $y = 2x^2 + 9x - 11$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 9x - 11 < 0$ выполняется для $\text{x}$, находящихся между корнями.

$-5.5 < x < 1$.

Теперь необходимо найти пересечение решений двух неравенств: $x < 0$ и $-5.5 < x < 1$.

$ \begin{cases} x \in (-\infty; 0) \\ x \in (-5.5; 1) \end{cases} $

Общим решением системы является интервал $(-5.5; 0)$.

Ответ: $x \in (-5.5; 0)$.

2) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{8 - \lg^3(3x - 2)}}$.

Область определения функции (ОДЗ) находится из системы неравенств, учитывая, что:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

2. Выражение под знаком квадратного корня в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Система неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ 8 - \lg^3(3x - 2) > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$3x - 2 > 0$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$.

Решим второе неравенство:

$8 - \lg^3(3x - 2) > 0$

$8 > \lg^3(3x - 2)$

$\lg^3(3x - 2) < 8$

Извлечем кубический корень из обеих частей. Функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ является монотонно возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.

$\sqrt[3]{\lg^3(3x - 2)} < \sqrt[3]{8}$

$\lg(3x - 2) < 2$

Представим 2 в виде десятичного логарифма: $2 = \lg(10^2) = \lg(100)$.

$\lg(3x - 2) < \lg(100)$

Поскольку основание десятичного логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется.

$3x - 2 < 100$

$3x < 102$

$x < \frac{102}{3}$

$x < 34$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $x > \frac{2}{3}$ и $x < 34$.

$ \begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x < 34 \end{cases} $

Общим решением системы является интервал $(\frac{2}{3}; 34)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; 34)$.