Номер 9.148, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.145-9.149 решите уравнения.

9.148. 1) $ \arcsin x - \arccos \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2} $;

2) $ \arccos x - \arcsin x = \arccos \sqrt{3x} $.

1) Решим уравнение $arcsin(x) - arccos(\frac{x}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $\text{x}$.

Для функции $arcsin(x)$ должно выполняться условие $-1 \le x \le 1$.

Для функции $arccos(\frac{x}{\sqrt{3}})$ должно выполняться условие $-1 \le \frac{x}{\sqrt{3}} \le 1$, что эквивалентно $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$.

Пересечением этих двух условий является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

Преобразуем исходное уравнение:

$arcsin(x) = \frac{\pi}{2} + arccos(\frac{x}{\sqrt{3}})$

Теперь проанализируем области значений левой и правой частей уравнения.

Область значений функции $arcsin(x)$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Область значений функции $arccos(\frac{x}{\sqrt{3}})$ есть отрезок $[0, \pi]$.

Следовательно, область значений выражения в правой части, $\frac{\pi}{2} + arccos(\frac{x}{\sqrt{3}})$, есть отрезок $[\frac{\pi}{2} + 0, \frac{\pi}{2} + \pi] = [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Равенство $arcsin(x) = \frac{\pi}{2} + arccos(\frac{x}{\sqrt{3}})$ может выполняться только для тех значений, которые принадлежат пересечению областей значений левой и правой частей.

Пересечением отрезков $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ является единственная точка $\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны $\frac{\pi}{2}$.

1) $arcsin(x) = \frac{\pi}{2} \implies x = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

2) $\frac{\pi}{2} + arccos(\frac{x}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{2} \implies arccos(\frac{x}{\sqrt{3}}) = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{3}} = cos(0) = 1 \implies x = \sqrt{3}$.

Мы получили, что для выполнения равенства необходимо, чтобы $\text{x}$ одновременно был равен $\text{1}$ и $\sqrt{3}$, что невозможно.

Таким образом, у данного уравнения нет решений.

Ответ: нет решений.

2) Решим уравнение $arccosx - arcsinx = arccos(\sqrt{3}x)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Для $arccosx$ и $arcsinx$: $-1 \le x \le 1$.

Для $arccos(\sqrt{3}x)$: $-1 \le \sqrt{3}x \le 1$, что равносильно $-\frac{1}{\sqrt{3}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}]$.

Воспользуемся основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $arcsinx + arccosx = \frac{\pi}{2}$. Отсюда $arcsinx = \frac{\pi}{2} - arccosx$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$arccosx - (\frac{\pi}{2} - arccosx) = arccos(\sqrt{3}x)$

$2arccosx - \frac{\pi}{2} = arccos(\sqrt{3}x)$

Возьмем косинус от обеих частей уравнения:

$cos(2arccosx - \frac{\pi}{2}) = cos(arccos(\sqrt{3}x))$

Используя формулу приведения $cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = sin(\alpha)$, левая часть преобразуется к $sin(2arccosx)$. Правая часть равна $\sqrt{3}x$.

$sin(2arccosx) = \sqrt{3}x$

Используя формулу синуса двойного угла $sin(2\beta) = 2sin(\beta)cos(\beta)$, получим:

$2sin(arccosx)cos(arccosx) = \sqrt{3}x$

Так как $cos(arccosx) = x$ и $sin(arccosx) = \sqrt{1-x^2}$ (синус неотрицателен, т.к. $arccosx \in [0, \pi]$), уравнение принимает вид:

$2\sqrt{1-x^2} \cdot x = \sqrt{3}x$

Перенесем все в одну сторону и решим полученное уравнение:

$2x\sqrt{1-x^2} - \sqrt{3}x = 0$

$x(2\sqrt{1-x^2} - \sqrt{3}) = 0$

Это равенство выполняется, если:

1) $x = 0$.

2) $2\sqrt{1-x^2} - \sqrt{3} = 0 \implies 2\sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} \implies \sqrt{1-x^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Возводим в квадрат: $1-x^2 = \frac{3}{4} \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2}$ или $x = -\frac{1}{2}$.

Мы получили три потенциальных корня: $0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$. Все они принадлежат ОДЗ $[-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}]$.

Поскольку мы применяли неэквивалентное преобразование (взятие косинуса), необходимо выполнить проверку.

Проверка для $x=0$:

$arccos(0) - arcsin(0) = arccos(0)$

$\frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. Верно.

Проверка для $x=\frac{1}{2}$:

$arccos(\frac{1}{2}) - arcsin(\frac{1}{2}) = arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Верно.

Проверка для $x=-\frac{1}{2}$:

$arccos(-\frac{1}{2}) - arcsin(-\frac{1}{2}) = arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6}$

$\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Верно.

Все три корня являются решениями уравнения.

Ответ: $x \in \{-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\}$.