Номер 9.142, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.142. 1) $2(\sin x + \cos x) + \sin 2x + 1 = 0;$

2) $4 - \sin 2x = 4(\cos x - \sin x).$

1) Решим уравнение $2(\sin x + \cos x) + \sin 2x + 1 = 0$.

Этот тип уравнений решается с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем это выражение в квадрат, чтобы выразить $\sin 2x$:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:

$t^2 = 1 + \sin 2x$

Отсюда $\sin 2x = t^2 - 1$.

Теперь подставим выражения для $(\sin x + \cos x)$ и $\sin 2x$ в исходное уравнение:

$2t + (t^2 - 1) + 1 = 0$

$t^2 + 2t = 0$

$t(t + 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к исходной переменной $\text{x}$.

Случай 1: $t = 0$.

$\sin x + \cos x = 0$

Разделим обе части на $\cos x$ (это допустимо, так как если бы $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и сумма не была бы равна нулю):

$\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $t = -2$.

$\sin x + \cos x = -2$

Чтобы оценить это уравнение, используем метод вспомогательного угла. Выражение $\sin x + \cos x$ можно представить в виде $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Область значений функции $y = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $-2 < -\sqrt{2}$ (так как $4 > 2$), значение $-2$ не входит в область значений функции. Следовательно, уравнение $\sin x + \cos x = -2$ не имеет решений.

Таким образом, решения исходного уравнения определяются только первым случаем.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $4 - \sin 2x = 4(\cos x - \sin x)$.

Это уравнение также решается с помощью замены переменной. Пусть $t = \cos x - \sin x$.

Возведем это выражение в квадрат:

$t^2 = (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x$

Используя тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:

$t^2 = 1 - \sin 2x$

Отсюда $\sin 2x = 1 - t^2$.

Подставим выражения для $(\cos x - \sin x)$ и $\sin 2x$ в исходное уравнение:

$4 - (1 - t^2) = 4t$

$4 - 1 + t^2 = 4t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{t}$. Решим его (например, по теореме Виета):

$(t - 1)(t - 3) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Вернемся к переменной $\text{x}$.

Случай 1: $t = 1$.

$\cos x - \sin x = 1$

Применим метод вспомогательного угла:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = 1$

$\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\cos x - \sin(\frac{\pi}{4})\sin x) = 1$

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два подслучая:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $t = 3$.

$\cos x - \sin x = 3$

Как и в предыдущем случае, выражение $\cos x - \sin x$ можно представить как $\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Область значений этой функции — отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $3 > \sqrt{2}$ (так как $9 > 2$), значение $\text{3}$ не входит в область значений функции. Следовательно, уравнение $\cos x - \sin x = 3$ не имеет решений.

Таким образом, решения исходного уравнения — это объединение серий корней, полученных в первом случае.

Ответ: $x = 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.