Номер 9.137, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.134-9.137 решите уравнения.

9.137.

1) $2\cos x = 1 + \cos 2x;$

2) $2\sin^2 2x = 3\cos^2 2x.$

1) Исходное уравнение: $2\cos x = 1 + \cos 2x$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$2\cos x = 1 + (2\cos^2 x - 1)$

После упрощения правой части получим:

$2\cos x = 2\cos^2 x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$2\cos^2 x - 2\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два независимых уравнения:

а) $2\cos x = 0 \implies \cos x = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.

Решением этого уравнения является серия корней: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя полученные решения, находим все корни исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $2\sin^2 2x = 3\cos^2 2x$.

Заметим, что если $\cos^2 2x = 0$, то из уравнения следует, что $2\sin^2 2x = 0$, что означало бы $\sin 2x = 0$ и $\cos 2x = 0$ одновременно. Это невозможно, так как противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Следовательно, $\cos^2 2x \neq 0$.

Поскольку $\cos^2 2x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$\frac{2\sin^2 2x}{\cos^2 2x} = 3$

Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, заменим отношение синуса к косинусу на тангенс:

$2\tan^2 2x = 3$

Выразим $\tan^2 2x$:

$\tan^2 2x = \frac{3}{2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два варианта:

$\tan 2x = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ или $\tan 2x = -\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Эти два семейства решений можно записать в виде одной формулы:

$\tan 2x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Отсюда находим $2x$:

$2x = \pm \arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наконец, разделим обе части на 2, чтобы найти $\text{x}$:

$x = \pm \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.