Номер 9.131, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.131. Известно, что $\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{5}$, $0\le\alpha\le\frac{\pi}{2}$. Найдите значение выражения $\sqrt{1-\cos\alpha}+\sqrt{1+\cos\alpha}$.

Для решения задачи сперва упростим искомое выражение $\sqrt{1 - \cos\alpha} + \sqrt{1 + \cos\alpha}$.

Воспользуемся формулами понижения степени (или формулами половинного угла):

$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$

$1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\sqrt{2\sin^2\frac{\alpha}{2}} + \sqrt{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{2}|\sin\frac{\alpha}{2}| + \sqrt{2}|\cos\frac{\alpha}{2}|$.

Из условия известно, что $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Разделив все части неравенства на 2, получим $0 \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{4}$.

В этом промежутке (в первой четверти) значения синуса и косинуса неотрицательны, поэтому модули можно опустить:

$\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2} + \sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})$.

Теперь рассмотрим данное в условии равенство $\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}) = \frac{4}{5}$.

Применим формулу синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

$\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{4}$.

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то получаем:

$\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})$.

Таким образом, мы имеем равенство:

$\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) = \frac{4}{5}$.

Нам нужно найти значение выражения $\sqrt{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})$.

Выразим его из полученного равенства. Для этого умножим обе части равенства на 2:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) = 2 \cdot \frac{4}{5}$

$\sqrt{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) = \frac{8}{5}$.

Это и есть значение искомого выражения.

Ответ: $\frac{8}{5}$.