Номер 9.124, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.124. Упростите выражение:

1) $1 + \sin(\pi - \varphi) \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \varphi\right)$;

2) $1 - \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \varphi\right) \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \varphi\right)$;

3) $1 + \mathrm{tg}\beta \mathrm{tg}2\beta$;

4) $\mathrm{ctg}\alpha - \mathrm{ctg}2\alpha$.

1) Упростим выражение $1 + \sin(\pi - \phi)\cos(\frac{3\pi}{2} - \phi)$. Для этого воспользуемся формулами приведения.

Синус угла $(\pi - \phi)$ находится во второй четверти, где синус положителен. Так как мы вычитаем из $\pi$, название функции не меняется: $\sin(\pi - \phi) = \sin\phi$.

Косинус угла $(\frac{3\pi}{2} - \phi)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Так как мы вычитаем из $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на синус: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \phi) = -\sin\phi$.

Подставим упрощенные выражения в исходное: $1 + \sin\phi \cdot (-\sin\phi) = 1 - \sin^2\phi$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$, получаем: $1 - \sin^2\phi = \cos^2\phi$.

Ответ: $\cos^2\phi$.

2) Упростим выражение $1 - \tan(\frac{3\pi}{2} - \phi)\cot(\frac{\pi}{2} - \phi)$. Применим формулы приведения.

Тангенс угла $(\frac{3\pi}{2} - \phi)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Название функции меняется на котангенс: $\tan(\frac{3\pi}{2} - \phi) = \cot\phi$.

Котангенс угла $(\frac{\pi}{2} - \phi)$ находится в первой четверти, где котангенс положителен. Название функции меняется на тангенс: $\cot(\frac{\pi}{2} - \phi) = \tan\phi$.

Подставляем в исходное выражение: $1 - \cot\phi \cdot \tan\phi$.

Так как $\cot\phi \cdot \tan\phi = 1$ (при условии, что $\phi$ не является кратным $\frac{\pi}{2}$), получаем: $1 - 1 = 0$.

Ответ: $\text{0}$.

3) Упростим выражение $1 + \tan\beta\tan2\beta$. Представим тангенсы через синусы и косинусы: $1 + \tan\beta\tan2\beta = 1 + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{\sin2\beta}{\cos2\beta} = 1 + \frac{\sin\beta\sin2\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{\cos\beta\cos2\beta + \sin\beta\sin2\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.

В числителе мы видим формулу косинуса разности: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. В нашем случае $A=2\beta$ и $B=\beta$. $\cos\beta\cos2\beta + \sin\beta\sin2\beta = \cos(2\beta - \beta) = \cos\beta$.

Подставим это в наше выражение: $\frac{\cos\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.

Сократив $\cos\beta$ (при условии $\cos\beta \ne 0$), получаем: $\frac{1}{\cos2\beta}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos2\beta}$.

4) Упростим выражение $\cot\alpha - \cot2\alpha$. Представим котангенсы через синусы и косинусы: $\cot\alpha - \cot2\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\sin2\alpha$: $\frac{\cos\alpha\sin2\alpha - \sin\alpha\cos2\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$.

Числитель представляет собой формулу синуса разности: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$. В нашем случае $A=2\alpha$ и $B=\alpha$. $\sin2\alpha\cos\alpha - \cos2\alpha\sin\alpha = \sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$.

Сократив $\sin\alpha$ (при условии $\sin\alpha \ne 0$), получаем: $\frac{1}{\sin2\alpha}$.

Ответ: $\frac{1}{\sin2\alpha}$.