Номер 9.119, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.119. При каких значениях параметра $\text{a}$ каждое решение неравенства $x^2 - 3x - 4 < 0$ является решением неравенства $x^2 - a^2 < 0$?

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $\text{a}$, при которых множество решений неравенства $x^2 - 3x - 4 < 0$ является подмножеством множества решений неравенства $x^2 - a^2 < 0$.

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 4 < 0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Так как графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, то неравенство $x^2 - 3x - 4 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Следовательно, множество решений первого неравенства есть интервал $(-1, 4)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2 - a^2 < 0$.

Это неравенство можно переписать как $x^2 < a^2$. Оно равносильно неравенству $|x| < \sqrt{a^2}$, то есть $|x| < |a|$. Решением этого неравенства является интервал $(-|a|, |a|)$. Отметим, что если $a=0$, то неравенство $x^2 < 0$ не имеет решений, и в этом случае условие задачи не может быть выполнено.

Условие задачи требует, чтобы любое решение первого неравенства было также решением второго. Это означает, что множество решений первого неравенства должно быть подмножеством множества решений второго неравенства: $(-1, 4) \subseteq (-|a|, |a|)$.

Для того чтобы интервал $(-1, 4)$ содержался в интервале $(-|a|, |a|)$, должны одновременно выполняться два условия для их концов: левая граница внешнего интервала должна быть меньше или равна левой границе внутреннего, а правая граница внутреннего — меньше или равна правой границе внешнего. Математически это записывается в виде системы неравенств:

1. $-|a| \le -1$

2. $4 \le |a|$

Рассмотрим эти два неравенства. Из первого неравенства $-|a| \le -1$, умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства, получаем $|a| \ge 1$. Второе неравенство — это $|a| \ge 4$. Оба этих условия должны выполняться одновременно. Пересечением множеств решений $|a| \ge 1$ и $|a| \ge 4$ является более сильное условие $|a| \ge 4$.

Решим неравенство $|a| \ge 4$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge 4$ или $a \le -4$. Объединяя эти решения, получаем искомое множество значений параметра $\text{a}$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.