Номер 9.112, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.110-9.112 решите неравенства.

9.112. 1) $\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}} > 1.5 \sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$.

2) $(12-x)\sqrt{\frac{12-x}{x-2}} + (x-2)\sqrt{\frac{x-2}{12-x}} < \frac{82}{3}$.

1)

Исходное неравенство: $ \sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}} > 1,5 \sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю.

$ x \ge 0 $

$ x+\sqrt{x} \ge 0 $, что выполняется для всех $ x \ge 0 $.

$ x-\sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow x \ge \sqrt{x} $. При $ x \ge 0 $ это неравенство равносильно $ x^2 \ge x $, или $ x(x-1) \ge 0 $, что выполняется при $ x=0 $ или $ x \ge 1 $.

Знаменатель $ \sqrt{x+\sqrt{x}} \ne 0 $, значит $ x+\sqrt{x} \ne 0 $, что дает $ x \ne 0 $.

Объединяя все условия ($ x \ge 0 $, ($ x=0 $ или $ x \ge 1 $), $ x \ne 0 $), получаем ОДЗ: $ x \ge 1 $.

2. Преобразуем неравенство. Запишем $ 1,5 $ как $ \frac{3}{2} $. Неравенство имеет вид:

$ \sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}} > \frac{3}{2} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}} $

Поскольку в ОДЗ $ x \ge 1 $, то $ \sqrt{x+\sqrt{x}} > 0 $. Умножим обе части неравенства на $ \sqrt{x+\sqrt{x}} $, знак неравенства не изменится.

$ (\sqrt{x+\sqrt{x}})^2 - \sqrt{x-\sqrt{x}}\sqrt{x+\sqrt{x}} > \frac{3}{2}\sqrt{x} $

$ x+\sqrt{x} - \sqrt{(x-\sqrt{x})(x+\sqrt{x})} > \frac{3}{2}\sqrt{x} $

Используем формулу разности квадратов под корнем:

$ x+\sqrt{x} - \sqrt{x^2 - (\sqrt{x})^2} > \frac{3}{2}\sqrt{x} $

$ x+\sqrt{x} - \sqrt{x^2 - x} > \frac{3}{2}\sqrt{x} $

Уединим корень, перенеся остальные члены в другую часть:

$ x+\sqrt{x} - \frac{3}{2}\sqrt{x} > \sqrt{x^2 - x} $

$ x - \frac{1}{2}\sqrt{x} > \sqrt{x^2 - x} $

3. Решим полученное неравенство. Проверим знаки обеих частей в ОДЗ ($ x \ge 1 $).

Правая часть $ \sqrt{x^2 - x} = \sqrt{x(x-1)} \ge 0 $.

Левая часть $ x - \frac{1}{2}\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-\frac{1}{2}) $. Так как $ x \ge 1 $, то $ \sqrt{x} \ge 1 $, и $ \sqrt{x}-\frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} > 0 $. Следовательно, левая часть положительна.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$ (x - \frac{1}{2}\sqrt{x})^2 > (\sqrt{x^2 - x})^2 $

$ x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}\sqrt{x} + (\frac{1}{2}\sqrt{x})^2 > x^2 - x $

$ x^2 - x\sqrt{x} + \frac{1}{4}x > x^2 - x $

Сократим $ x^2 $ и перенесем все члены в левую часть:

$ -x\sqrt{x} + \frac{1}{4}x + x > 0 $

$ -x\sqrt{x} + \frac{5}{4}x > 0 $

Вынесем $ x $ за скобки:

$ x(\frac{5}{4} - \sqrt{x}) > 0 $

Поскольку в ОДЗ $ x \ge 1 $, то $ x > 0 $. Можем разделить обе части на $ x $:

$ \frac{5}{4} - \sqrt{x} > 0 $

$ \frac{5}{4} > \sqrt{x} $

Возведем в квадрат обе положительные части:

$ (\frac{5}{4})^2 > x $

$ x < \frac{25}{16} $

4. Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем $ x < \frac{25}{16} $ и $ x \ge 1 $.

Таким образом, решением является интервал $ 1 \le x < \frac{25}{16} $.

Ответ: $ [1; \frac{25}{16}) $.

2)

Исходное неравенство: $ (12-x)\sqrt{\frac{12-x}{x-2}} + (x-2)\sqrt{\frac{x-2}{12-x}} < \frac{82}{3} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Подкоренные выражения должны быть строго положительными, так как они также находятся в знаменателе дроби под корнем. $ \frac{12-x}{x-2} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x=12 $ и $ x=2 $. На числовой прямой отмечаем точки 2 и 12. Они разбивают прямую на три интервала. Проверяя знаки на интервалах, получаем, что выражение $ \frac{12-x}{x-2} $ положительно при $ x \in (2; 12) $. Это и есть ОДЗ.

2. Преобразуем неравенство. В ОДЗ $ 12-x > 0 $ и $ x-2 > 0 $. Сделаем замену.

Пусть $ a = 12-x $ и $ b = x-2 $. Тогда $ a>0 $, $ b>0 $.

Заметим, что $ a+b = (12-x) + (x-2) = 10 $. Неравенство принимает вид:

$ a\sqrt{\frac{a}{b}} + b\sqrt{\frac{b}{a}} < \frac{82}{3} $

Преобразуем левую часть:

$ a \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + b \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{a\sqrt{a}\sqrt{a} + b\sqrt{b}\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{a^2+b^2}{\sqrt{ab}} $

Неравенство становится: $ \frac{a^2+b^2}{\sqrt{ab}} < \frac{82}{3} $.

Используем связь $ a+b=10 $. Возведем в квадрат: $ (a+b)^2 = 100 \Rightarrow a^2+2ab+b^2=100 \Rightarrow a^2+b^2 = 100-2ab $. Подставим это в неравенство:

$ \frac{100-2ab}{\sqrt{ab}} < \frac{82}{3} $

3. Введем еще одну замену. Пусть $ t = \sqrt{ab} $. Так как $ a>0, b>0 $, то $ t>0 $. Тогда $ ab = t^2 $. Неравенство принимает вид:

$ \frac{100-2t^2}{t} < \frac{82}{3} $

Так как $ t>0 $, умножим обе части на $ 3t $, знак неравенства не изменится:

$ 3(100-2t^2) < 82t $

$ 300 - 6t^2 < 82t $

$ 6t^2 + 82t - 300 > 0 $

Разделим на 2:

$ 3t^2 + 41t - 150 > 0 $

Решим квадратное уравнение $ 3t^2 + 41t - 150 = 0 $.

Дискриминант $ D = 41^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-150) = 1681 + 1800 = 3481 = 59^2 $.

Корни: $ t_{1,2} = \frac{-41 \pm 59}{2 \cdot 3} $.

$ t_1 = \frac{-41 - 59}{6} = -\frac{100}{6} = -\frac{50}{3} $.

$ t_2 = \frac{-41 + 59}{6} = \frac{18}{6} = 3 $.

Парабола $ y=3t^2 + 41t - 150 $ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $ t < -\frac{50}{3} $ или $ t > 3 $. Учитывая, что $ t>0 $, получаем $ t > 3 $.

4. Вернемся к исходным переменным.

$ \sqrt{ab} > 3 \Rightarrow ab > 9 $

Подставим $ a=12-x $ и $ b=x-2 $:

$ (12-x)(x-2) > 9 $

$ 12x - 24 - x^2 + 2x > 9 $

$ -x^2 + 14x - 24 > 9 $

$ -x^2 + 14x - 33 > 0 $

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$ x^2 - 14x + 33 < 0 $

Найдем корни уравнения $ x^2 - 14x + 33 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 = 8^2 $.

Корни: $ x_{1,2} = \frac{14 \pm 8}{2} $.

$ x_1 = \frac{14 - 8}{2} = 3 $.

$ x_2 = \frac{14 + 8}{2} = 11 $.

Парабола $ y=x^2 - 14x + 33 $ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $ <0 $ выполняется между корнями: $ 3 < x < 11 $.

5. Совместим полученное решение с ОДЗ $ x \in (2; 12) $. Пересечением интервалов $ (3; 11) $ и $ (2; 12) $ является интервал $ (3; 11) $.

Ответ: $ (3; 11) $.