Номер 9.117, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.117. При каких значениях параметра $\text{a}$ неравенство $x^2 - 3ax + 1 > 0$ выполняется для любых $\text{x}$?

Данное неравенство представляет собой квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 3ax + 1$. Чтобы неравенство $y(x) > 0$ выполнялось для любых значений $\text{x}$, необходимо, чтобы график этой функции, который является параболой, полностью находился выше оси абсцисс.

Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы такая парабола всегда была выше оси $Ox$, она не должна иметь с ней точек пересечения, то есть соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 3ax + 1 = 0$ не должно иметь действительных корней.

Условием отсутствия действительных корней у квадратного уравнения является отрицательный дискриминант ($D < 0$).

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 3ax + 1 = 0$: $D = b^2 - 4ac$ В нашем случае коэффициенты $a=1$, $b=-3a$, $c=1$. $D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9a^2 - 4$.

Теперь решим неравенство $D < 0$: $9a^2 - 4 < 0$ $9a^2 < 4$ $a^2 < \frac{4}{9}$

Это неравенство равносильно системе: $|a| < \sqrt{\frac{4}{9}}$ $|a| < \frac{2}{3}$ Что в свою очередь означает: $-\frac{2}{3} < a < \frac{2}{3}$

Следовательно, неравенство выполняется для любых $\text{x}$ при значениях параметра $\text{a}$, принадлежащих интервалу $(-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.

Ответ: $a \in (-\frac{2}{3}; \frac{2}{3})$.