Номер 9.113, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.113. 1) $|x - 1| + |x - 4| \ge 5;$

2) $|x - 2| + |x + 5| \le 7.$

1)

Для решения неравенства $|x - 1| + |x - 4| \ge 5$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль (это "критические" точки):

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 1)$, $[1; 4)$ и $[4; +\infty)$. Рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Случай 1: $x < 1$.

На этом промежутке оба выражения под модулями отрицательны: $x-1 < 0$ и $x-4 < 0$. Поэтому при раскрытии модулей меняем знаки:

$-(x-1) - (x-4) \ge 5$

$1-x + 4-x \ge 5$

$5 - 2x \ge 5$

$-2x \ge 0$

$x \le 0$

Пересекая полученное решение $x \le 0$ с условием данного случая $x < 1$, получаем, что решение для этого промежутка: $x \le 0$.

Случай 2: $1 \le x < 4$.

На этом промежутке $x-1 \ge 0$, а $x-4 < 0$. Раскрываем модули:

$(x-1) - (x-4) \ge 5$

$x-1 - x+4 \ge 5$

$3 \ge 5$

Получено неверное числовое неравенство, следовательно, на промежутке $[1; 4)$ решений нет.

Случай 3: $x \ge 4$.

На этом промежутке оба выражения под модулями неотрицательны: $x-1 \ge 0$ и $x-4 \ge 0$. Раскрываем модули без изменения знака:

$(x-1) + (x-4) \ge 5$

$2x - 5 \ge 5$

$2x \ge 10$

$x \ge 5$

Пересекая полученное решение $x \ge 5$ с условием данного случая $x \ge 4$, получаем, что решение для этого промежутка: $x \ge 5$.

Объединяем решения, полученные во всех случаях: $x \le 0$ или $x \ge 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

2)

Для решения неравенства $|x - 2| + |x + 5| \le 7$ также используем метод интервалов. Найдём "критические" точки:

$x - 2 = 0 \implies x = 2$

$x + 5 = 0 \implies x = -5$

Точки -5 и 2 разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -5)$, $[-5; 2)$ и $[2; +\infty)$.

Случай 1: $x < -5$.

На этом промежутке $x-2 < 0$ и $x+5 < 0$. Раскрываем модули с изменением знака:

$-(x-2) - (x+5) \le 7$

$2-x -x-5 \le 7$

$-2x - 3 \le 7$

$-2x \le 10$

$x \ge -5$

Система $\begin{cases} x < -5 \\ x \ge -5 \end{cases}$ не имеет решений. На этом промежутке решений нет.

Случай 2: $-5 \le x < 2$.

На этом промежутке $x-2 < 0$, а $x+5 \ge 0$. Раскрываем модули:

$-(x-2) + (x+5) \le 7$

$2-x + x+5 \le 7$

$7 \le 7$

Получено верное числовое неравенство, которое выполняется для всех $\text{x}$ из данного промежутка. Следовательно, весь промежуток $[-5; 2)$ является решением.

Случай 3: $x \ge 2$.

На этом промежутке $x-2 \ge 0$ и $x+5 \ge 0$. Раскрываем модули без изменения знака:

$(x-2) + (x+5) \le 7$

$2x + 3 \le 7$

$2x \le 4$

$x \le 2$

Пересекая полученное решение $x \le 2$ с условием данного случая $x \ge 2$, получаем единственное решение: $x = 2$.

Объединяем решения, полученные во всех случаях: $[-5; 2) \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-5; 2]$.