Номер 9.111, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.110-9.112 решите неравенства.

9.111. 1) $(x+1)\sqrt{9-x^2} \le 0$;

2) $(x-1)+\sqrt{x^2-x-2} \ge 0$;

3) $x\sqrt{10-x^2} > x^2-6$;

4) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} \le 1$.

1) $(x+1)\sqrt{9-x^2} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $9-x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 9$. Отсюда получаем $-3 \le x \le 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

Множитель $\sqrt{9-x^2}$ всегда неотрицателен в своей области определения. Произведение $(x+1)\sqrt{9-x^2}$ будет меньше или равно нулю, если:

1. Один из множителей равен нулю.

$\sqrt{9-x^2} = 0$ при $x = 3$ и $x = -3$. В этих точках неравенство $0 \le 0$ выполняется.

$x+1 = 0$ при $x = -1$. Эта точка входит в ОДЗ. В этой точке неравенство $0 \le 0$ также выполняется.

2. Множители имеют разные знаки.

Поскольку $\sqrt{9-x^2} > 0$ при $x \in (-3, 3)$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы другой множитель был отрицательным: $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.

Совмещая условие $x < -1$ с ОДЗ для этого случая $x \in (-3, 3)$, получаем интервал $-3 < x < -1$.

Объединяя все полученные решения: точки $x=-3$, $x=3$, $x=-1$ и интервал $(-3, -1)$, получаем множество $x \in [-3, -1] \cup \{3\}$.

Ответ: $x \in [-3, -1] \cup \{3\}$.

2) $(x-1) + \sqrt{x^2-x-2} \ge 0$

Найдем ОДЗ: $x^2-x-2 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2-x-2 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Рассмотрим неравенство на двух частях ОДЗ.

1. Пусть $x \in [2, \infty)$. В этом случае $x-1 \ge 2-1 = 1 > 0$. Выражение $\sqrt{x^2-x-2}$ также неотрицательно. Сумма положительного и неотрицательного числа всегда неотрицательна, поэтому неравенство $(x-1) + \sqrt{x^2-x-2} \ge 0$ выполняется для всех $\text{x}$ из этого промежутка.

2. Пусть $x \in (-\infty, -1]$. В этом случае $x-1 \le -1-1 = -2 < 0$. Перепишем неравенство в виде $\sqrt{x^2-x-2} \ge -(x-1)$, то есть $\sqrt{x^2-x-2} \ge 1-x$.

На промежутке $x \in (-\infty, -1]$ правая часть $1-x$ положительна. Так как обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$x^2-x-2 \ge (1-x)^2$

$x^2-x-2 \ge 1-2x+x^2$

$-x-2 \ge 1-2x$

$x \ge 3$.

Теперь нужно найти пересечение полученного условия $x \ge 3$ с рассматриваемым промежутком $x \in (-\infty, -1]$. Это пересечение пусто, так как не существует чисел, которые одновременно меньше или равны $-1$ и больше или равны $\text{3}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что решением неравенства является промежуток $[2, \infty)$.

Ответ: $x \in [2, \infty)$.

3) $x\sqrt{10-x^2} > x^2-6$

ОДЗ: $10-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 10 \Rightarrow -\sqrt{10} \le x \le \sqrt{10}$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака $\text{x}$.

1. Если $x=0$, неравенство принимает вид $0 > -6$, что является верным. Значит, $x=0$ - решение.

2. Если $x>0$, то $x \in (0, \sqrt{10}]$. Левая часть $x\sqrt{10-x^2}$ положительна.

а) Если правая часть $x^2-6 \le 0$, то есть $x^2 \le 6$, что для $x>0$ означает $0 < x \le \sqrt{6}$. В этом случае положительное число слева больше неположительного справа, и неравенство выполняется. Итак, $x \in (0, \sqrt{6}]$ - решение.

б) Если правая часть $x^2-6 > 0$, то есть $x^2 > 6$, что для $x>0$ означает $\sqrt{6} < x \le \sqrt{10}$. Обе части неравенства положительны, можно возвести в квадрат:

$(x\sqrt{10-x^2})^2 > (x^2-6)^2$

$x^2(10-x^2) > x^4 - 12x^2 + 36$

$10x^2 - x^4 > x^4 - 12x^2 + 36$

$2x^4 - 22x^2 + 36 < 0$

$x^4 - 11x^2 + 18 < 0$.

Пусть $t=x^2$, тогда $t^2 - 11t + 18 < 0$. Корни $t_1=2, t_2=9$. Решение: $2 < t < 9$, или $2 < x^2 < 9$. Для $x>0$ это дает $\sqrt{2} < x < 3$.

Находим пересечение этого результата с условием случая (б): $(\sqrt{2}, 3) \cap (\sqrt{6}, \sqrt{10}] = (\sqrt{6}, 3)$, так как $\sqrt{2} < \sqrt{6} < 3 < \sqrt{10}$.

Объединяя решения для $x>0$: $(0, \sqrt{6}] \cup (\sqrt{6}, 3) = (0, 3)$.

3. Если $x<0$, то $x \in [-\sqrt{10}, 0)$. Левая часть $x\sqrt{10-x^2}$ отрицательна (или 0 при $x=-\sqrt{10}$).

а) Если $x^2-6 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 6$, что для $x<0$ означает $-\sqrt{10} \le x \le -\sqrt{6}$. Неравенство "отрицательное > неотрицательное" неверно. Решений нет.

б) Если $x^2-6 < 0$, то есть $x^2 < 6$, что для $x<0$ означает $-\sqrt{6} < x < 0$. Обе части отрицательны. При возведении в квадрат знак неравенства меняется:

$x^4 - 11x^2 + 18 > 0$.

Решение этого неравенства относительно $t=x^2$: $t < 2$ или $t > 9$. То есть $x^2 < 2$ или $x^2 > 9$.

Для $x<0$: $x^2 < 2 \Rightarrow -\sqrt{2} < x < 0$; $x^2 > 9 \Rightarrow x < -3$.

Находим пересечение с условием случая (б) $x \in (-\sqrt{6}, 0)$: $(-\sqrt{2}, 0) \cap (-\sqrt{6}, 0) = (-\sqrt{2}, 0)$; $(-\infty, -3) \cap (-\sqrt{6}, 0) = \emptyset$.

Решение для $x<0$: $x \in (-\sqrt{2}, 0)$.

Объединяем все решения: $(-\sqrt{2}, 0) \cup \{0\} \cup (0, 3) = (-\sqrt{2}, 3)$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{2}, 3)$.

4) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} \le 1$

Найдем ОДЗ. Должны выполняться два условия: $x-1 \ge 0$ и $x-2\sqrt{x-1} \ge 0$.

Из первого условия $x \ge 1$.

Второе условие $x \ge 2\sqrt{x-1}$. Так как $x \ge 1$, обе части неотрицательны. Возводим в квадрат:

$x^2 \ge 4(x-1)$

$x^2 - 4x + 4 \ge 0$

$(x-2)^2 \ge 0$.

Это неравенство верно для любого $\text{x}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, \infty)$.

Заметим, что подкоренное выражение можно свернуть в полный квадрат:

$x-2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} \le 1$

$|\sqrt{x-1} - 1| \le 1$

Это равносильно двойному неравенству:

$-1 \le \sqrt{x-1} - 1 \le 1$

Прибавим 1 ко всем частям:

$0 \le \sqrt{x-1} \le 2$

Левая часть $0 \le \sqrt{x-1}$ верна для всех $\text{x}$ из ОДЗ.

Решим правую часть $\sqrt{x-1} \le 2$. Возведем в квадрат обе неотрицательные части:

$x-1 \le 4$

$x \le 5$.

Совмещая полученное решение $x \le 5$ с ОДЗ $x \ge 1$, получаем итоговый ответ $1 \le x \le 5$.

Ответ: $x \in [1, 5]$.