Номер 9.104, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.104. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} -3 < 2x - 3 < -1, \\ 1 - 4x < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 0 < 1 - 3x < 1, \\ 3 - 4x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 3 \le 0, \\ \frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 2 \le 5x - 8, \\ \frac{2x - 1}{2 - x} < 4. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} -3 < 2x - 3 < -1 \\ 1 - 4x < 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$-3 < 2x - 3 < -1$

Прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:

$-3 + 3 < 2x < -1 + 3$

$0 < 2x < 2$

Разделим все части на 2:

$0 < x < 1$

Решение первого неравенства: $x \in (0; 1)$.

Теперь решим второе неравенство:

$1 - 4x < 0$

$1 < 4x$

$x > \frac{1}{4}$

Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(0; 1) \cap (\frac{1}{4}; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(\frac{1}{4}; 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 1)$.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0 < 1 - 3x < 1 \\ 3 - 4x < 2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$0 < 1 - 3x < 1$

Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства:

$0 - 1 < -3x < 1 - 1$

$-1 < -3x < 0$

Разделим все части на -3, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-1}{-3} > x > \frac{0}{-3}$

$\frac{1}{3} > x > 0$, что эквивалентно $0 < x < \frac{1}{3}$.

Решение первого неравенства: $x \in (0; \frac{1}{3})$.

Теперь решим второе неравенство:

$3 - 4x < 2$

$-4x < 2 - 3$

$-4x < -1$

Разделим на -4, изменив знак неравенства:

$x > \frac{-1}{-4}$

$x > \frac{1}{4}$

Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(0; \frac{1}{3}) \cap (\frac{1}{4}; +\infty)$.

Так как $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ и $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.

Пересечением является интервал $(\frac{1}{4}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; \frac{1}{3})$.

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 3 \le 0 \\ \frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$2x - 3 \le 0$

$2x \le 3$

$x \le \frac{3}{2}$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}]$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{2x - 5}{x - 2} \ge 4$

Перенесем 4 в левую часть:

$\frac{2x - 5}{x - 2} - 4 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - 5 - 4(x - 2)}{x - 2} \ge 0$

$\frac{2x - 5 - 4x + 8}{x - 2} \ge 0$

$\frac{-2x + 3}{x - 2} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $-2x + 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.

Нуль знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Отметим точки $\frac{3}{2}$ и $\text{2}$ на числовой оси. Точка $x = \frac{3}{2}$ будет закрашенной (т.к. неравенство нестрогое), а точка $x = 2$ – выколотой (т.к. знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения на интервалах. При $x > 2$ (например, $x=3$), выражение отрицательно. При переходе через точку $x=2$ знак меняется, т.к. $(x-2)$ в нечетной степени. При переходе через точку $x=3/2$ знак меняется. Получаем знаки на интервалах: $(-\infty; \frac{3}{2}] \rightarrow -$; $[\frac{3}{2}; 2) \rightarrow +$; $(2; +\infty) \rightarrow -$.

Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю. Это интервал $[\frac{3}{2}; 2)$.

Решение второго неравенства: $x \in [\frac{3}{2}; 2)$.

Найдем пересечение решений системы: $(-\infty; \frac{3}{2}] \cap [\frac{3}{2}; 2)$.

Пересечением является единственная точка $x = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\{\frac{3}{2}\}$.

4) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 2 \le 5x - 8 \\ \frac{2x - 1}{2 - x} < 4 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$3x - 2 \le 5x - 8$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в одну сторону, а числа в другую:

$-2 + 8 \le 5x - 3x$

$6 \le 2x$

$3 \le x$ или $x \ge 3$.

Решение первого неравенства: $x \in [3; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{2x - 1}{2 - x} < 4$

Перенесем 4 в левую часть:

$\frac{2x - 1}{2 - x} - 4 < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - 1 - 4(2 - x)}{2 - x} < 0$

$\frac{2x - 1 - 8 + 4x}{2 - x} < 0$

$\frac{6x - 9}{2 - x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $6x - 9 = 0 \implies 6x = 9 \implies x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Нуль знаменателя: $2 - x = 0 \implies x = 2$.

Отметим точки $\frac{3}{2}$ и $\text{2}$ на числовой оси. Обе точки выколотые, т.к. неравенство строгое.

Определим знаки выражения на интервалах. При $x > 2$ (например, $x=3$), выражение отрицательно. При переходе через точки $x=2$ и $x=3/2$ знак меняется. Получаем знаки на интервалах: $(-\infty; \frac{3}{2}) \rightarrow -$; $(\frac{3}{2}; 2) \rightarrow +$; $(2; +\infty) \rightarrow -$.

Нам нужны значения, где выражение меньше нуля. Это объединение интервалов $(-\infty; \frac{3}{2}) \cup (2; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $[3; +\infty) \cap ((-\infty; \frac{3}{2}) \cup (2; +\infty))$.

Пересечение $[3; +\infty)$ с $(-\infty; \frac{3}{2})$ пусто. Пересечение $[3; +\infty)$ с $(2; +\infty)$ есть $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.