Номер 9.97, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.97. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \sqrt{3x + y} + \sqrt{y - x} = 7, \\ 2\sqrt{y - x} + \sqrt{4x + 15} = 10; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y + \sqrt{x^2 - y^2} = 12, \\ y\sqrt{x^2 - y^2} = 12. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{3x + y} + \sqrt{y - x} = 7, \\ 2\sqrt{y - x} + \sqrt{4x + 15} = 10; \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{y - x}$ и $b = \sqrt{4x + 15}$. Из определения следует, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Выразим $\text{x}$ и $\text{y}$ через $\text{a}$ и $\text{b}$:

$a^2 = y - x \implies y = x + a^2$

$b^2 = 4x + 15 \implies 4x = b^2 - 15 \implies x = \frac{b^2 - 15}{4}$

Подставим $\text{x}$ в выражение для $\text{y}$: $y = \frac{b^2 - 15}{4} + a^2$.

Теперь выразим подкоренное выражение из первого уравнения $3x + y$ через $\text{a}$ и $\text{b}$:

$3x + y = 3\left(\frac{b^2 - 15}{4}\right) + \left(\frac{b^2 - 15}{4} + a^2\right) = 4\left(\frac{b^2 - 15}{4}\right) + a^2 = b^2 - 15 + a^2$.

Перепишем исходную систему в новых переменных:

$ \begin{cases} \sqrt{a^2 + b^2 - 15} + a = 7, \\ 2a + b = 10; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $\text{b}$: $b = 10 - 2a$. Так как $b \ge 0$, то $10 - 2a \ge 0$, откуда $a \le 5$. С учетом $a \ge 0$, получаем $0 \le a \le 5$.

Подставим $\text{b}$ в первое уравнение:

$\sqrt{a^2 + (10 - 2a)^2 - 15} + a = 7$

$\sqrt{a^2 + 100 - 40a + 4a^2 - 15} = 7 - a$

$\sqrt{5a^2 - 40a + 85} = 7 - a$

Для существования решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $7 - a \ge 0$, то есть $a \le 7$. С учетом ранее полученного $0 \le a \le 5$, это условие выполняется.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$5a^2 - 40a + 85 = (7 - a)^2$

$5a^2 - 40a + 85 = 49 - 14a + a^2$

$4a^2 - 26a + 36 = 0$

Разделим на 2:

$2a^2 - 13a + 18 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $\text{a}$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

$a_1 = \frac{13 - 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$a_2 = \frac{13 + 5}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Оба значения $\text{a}$ удовлетворяют условию $0 \le a \le 5$.

Найдем соответствующие значения $\text{b}$, а затем $\text{x}$ и $\text{y}$.

Случай 1: $a = 2$.

$b = 10 - 2a = 10 - 2(2) = 6$.

$x = \frac{b^2 - 15}{4} = \frac{6^2 - 15}{4} = \frac{36 - 15}{4} = \frac{21}{4}$.

$y = x + a^2 = \frac{21}{4} + 2^2 = \frac{21}{4} + 4 = \frac{21 + 16}{4} = \frac{37}{4}$.

Первое решение: $(\frac{21}{4}, \frac{37}{4})$.

Случай 2: $a = 4.5 = \frac{9}{2}$.

$b = 10 - 2a = 10 - 2(4.5) = 10 - 9 = 1$.

$x = \frac{b^2 - 15}{4} = \frac{1^2 - 15}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$.

$y = x + a^2 = -\frac{7}{2} + (\frac{9}{2})^2 = -\frac{14}{4} + \frac{81}{4} = \frac{67}{4}$.

Второе решение: $(-\frac{7}{2}, \frac{67}{4})$.

Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(\frac{21}{4}, \frac{37}{4}); (-\frac{7}{2}, \frac{67}{4})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + \sqrt{x^2 - y^2} = 12, \\ y\sqrt{x^2 - y^2} = 12. \end{cases} $

Определим область допустимых значений. Из-за наличия $\sqrt{x^2 - y^2}$ необходимо, чтобы $x^2 - y^2 \ge 0$. Из второго уравнения $y\sqrt{x^2 - y^2} = 12$ следует, что $y \ne 0$ и $\sqrt{x^2 - y^2} \ne 0$. Значит, $x^2 - y^2 > 0$. Также, поскольку 12 > 0, $\text{y}$ и $\sqrt{x^2 - y^2}$ должны быть одного знака. Корень всегда неотрицателен, значит $y > 0$.

Введем новую переменную $t = \sqrt{x^2 - y^2}$, где $t > 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} x + y + t = 12, \\ yt = 12. \end{cases} $

Также у нас есть соотношение $t^2 = x^2 - y^2$.

Из второго уравнения системы выразим $\text{y}$: $y = \frac{12}{t}$.

Из первого уравнения выразим $\text{x}$: $x = 12 - y - t = 12 - \frac{12}{t} - t$.

Подставим выражения для $\text{x}$ и $\text{y}$ в $t^2 = x^2 - y^2$:

$t^2 = \left(12 - t - \frac{12}{t}\right)^2 - \left(\frac{12}{t}\right)^2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$t^2 = \left(12 - t - \frac{12}{t} - \frac{12}{t}\right)\left(12 - t - \frac{12}{t} + \frac{12}{t}\right)$

$t^2 = \left(12 - t - \frac{24}{t}\right)(12 - t)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$t^2 = \left(\frac{12t - t^2 - 24}{t}\right)(12 - t)$

Умножим обе части на $\text{t}$ (мы знаем, что $t \ne 0$):

$t^3 = (12t - t^2 - 24)(12 - t)$

$t^3 = 144t - 12t^2 - 12t^2 + t^3 - 288 + 24t$

Приведем подобные члены:

$0 = -24t^2 + 168t - 288$

Разделим уравнение на -24:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{t}$. Его корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Оба корня положительны, поэтому оба являются возможными значениями для $\text{t}$.

Найдем соответствующие значения $\text{x}$ и $\text{y}$.

Случай 1: $t = 3$.

$y = \frac{12}{t} = \frac{12}{3} = 4$.

$x = 12 - t - y = 12 - 3 - 4 = 5$.

Проверим ОДЗ: $y=4 > 0$. $x^2 - y^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 > 0$. Все условия выполнены. Первое решение: $(5, 4)$.

Случай 2: $t = 4$.

$y = \frac{12}{t} = \frac{12}{4} = 3$.

$x = 12 - t - y = 12 - 4 - 3 = 5$.

Проверим ОДЗ: $y=3 > 0$. $x^2 - y^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 > 0$. Все условия выполнены. Второе решение: $(5, 3)$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(5, 4); (5, 3)$.