Номер 9.90, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.90. Найдите все значения параметра $\text{a}$, при которых уравнение $x|x + 2a| + 1 = a$ имеет два различных корня.

Перепишем исходное уравнение в виде $x|x + 2a| = a - 1$. Для решения этого уравнения с модулем рассмотрим два случая.

1. Пусть $x + 2a \ge 0$, то есть $x \ge -2a$. В этом случае $|x + 2a| = x + 2a$, и уравнение принимает вид: $x(x + 2a) = a - 1$ $x^2 + 2ax - a + 1 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $\text{x}$. Найдем его дискриминант: $D_1 = (2a)^2 - 4(1)(-a + 1) = 4a^2 + 4a - 4 = 4(a^2 + a - 1)$. Уравнение имеет действительные корни при $D_1 \ge 0$, то есть при $a^2 + a - 1 \ge 0$. Корнями уравнения $a^2 + a - 1 = 0$ являются $a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Следовательно, $D_1 \ge 0$ при $a \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$. При этом корни уравнения для $\text{x}$ равны: $x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{D_1}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2 + a - 1}$.

Теперь проверим, при каких значениях $\text{a}$ эти корни удовлетворяют условию $x \ge -2a$.

Для корня $x_1 = -a + \sqrt{a^2 + a - 1}$: $-a + \sqrt{a^2 + a - 1} \ge -2a \iff \sqrt{a^2 + a - 1} \ge -a$. Если $-a \le 0$ (то есть $a \ge 0$), неравенство выполняется для всех $\text{a}$, при которых $D_1 \ge 0$. Пересечение $a \ge 0$ и $a \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$ дает $a \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$. Если $-a > 0$ (то есть $a < 0$), можно возвести обе части в квадрат: $a^2 + a - 1 \ge a^2 \iff a \ge 1$. Это противоречит условию $a < 0$. Таким образом, корень $x_1$ является решением исходного уравнения при $a \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Для корня $x_2 = -a - \sqrt{a^2 + a - 1}$: $-a - \sqrt{a^2 + a - 1} \ge -2a \iff a \ge \sqrt{a^2 + a - 1}$. Это неравенство может выполняться только при $a \ge 0$. Возведя обе части в квадрат (при $a \ge 0$), получим $a^2 \ge a^2 + a - 1 \iff 1 \ge a$. Итак, корень $x_2$ является решением при одновременном выполнении условий $a \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (для существования корня), $a \ge 0$ и $a \le 1$. Это эквивалентно $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \le a \le 1$.

2. Пусть $x + 2a < 0$, то есть $x < -2a$. В этом случае $|x + 2a| = -(x + 2a)$, и уравнение принимает вид: $x(-(x + 2a)) = a - 1$ $-x^2 - 2ax = a - 1$ $x^2 + 2ax + a - 1 = 0$ Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D_2 = (2a)^2 - 4(1)(a - 1) = 4a^2 - 4a + 4 = 4(a^2 - a + 1)$. Дискриминант квадратного трехчлена $a^2 - a + 1$ (относительно $\text{a}$) равен $(-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. Так как коэффициент при $a^2$ положителен, $a^2 - a + 1 > 0$ при любых $\text{a}$. Следовательно, $D_2 > 0$ для всех $a \in \mathbb{R}$. Корни уравнения для $\text{x}$ равны: $x_{3,4} = \frac{-2a \pm \sqrt{D_2}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2 - a + 1}$.

Теперь проверим, при каких значениях $\text{a}$ эти корни удовлетворяют условию $x < -2a$.

Для корня $x_3 = -a + \sqrt{a^2 - a + 1}$: $-a + \sqrt{a^2 - a + 1} < -2a \iff \sqrt{a^2 - a + 1} < -a$. Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $-a > 0$, то есть $a < 0$. Возведя в квадрат, получим $a^2 - a + 1 < a^2 \iff 1 < a$. Это противоречит условию $a<0$. Значит, корень $x_3$ никогда не является решением.

Для корня $x_4 = -a - \sqrt{a^2 - a + 1}$: $-a - \sqrt{a^2 - a + 1} < -2a \iff a < \sqrt{a^2 - a + 1}$. Если $a \le 0$, неравенство очевидно верно, так как левая часть неположительна, а правая всегда положительна. Если $a > 0$, можно возвести обе части в квадрат: $a^2 < a^2 - a + 1 \iff a < 1$. Таким образом, корень $x_4$ является решением при $a < 1$.

Сведем результаты воедино и подсчитаем количество корней.

• При $a < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$: В первом случае ($x \ge -2a$) корней нет. Во втором случае ($x < -2a$) есть один корень $x_4$ (так как $a < 1$). Итого: 1 корень.
• При $a = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$: В первом случае есть один корень $x = -a$ (так как $D_1=0$ и $a>0$). Во втором случае есть один корень $x_4$ (так как $a < 1$). Эти корни различны, так как $x_4 = -a - \sqrt{a^2-a+1} \neq -a$. Итого: 2 различных корня.
• При $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} < a < 1$: В первом случае есть два корня $x_1$ и $x_2$. Во втором случае есть один корень $x_4$. Корни из разных случаев не могут совпадать (равенство возможно только при $x=-2a$, что приводит к $a=1$). Итого: 3 различных корня.
• При $a = 1$: В первом случае уравнение $x^2+2x=0$ дает корни $x=0$ и $x=-2$. Условие $x \ge -2a = -2$ выполняется для обоих. Получаем 2 корня. Во втором случае условие $a<1$ не выполнено, корней нет. Итого: 2 различных корня.
• При $a > 1$: В первом случае есть один корень $x_1$. Во втором случае условие $a<1$ не выполнено, корней нет. Итого: 1 корень.

Уравнение имеет два различных корня при $a = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ и при $a=1$.

Ответ: $a=1$, $a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.