Номер 9.89, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.89. Найдите все значения параметра $\text{a}$, при которых уравнение $x - a = 2|2|x| - a^2|$ имеет три различных корня.

Перепишем исходное уравнение в виде равенства двух функций: $f(x) = g(x)$, где $f(x) = x - a$ и $g(x) = 2|2|x| - a^2|$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

Функция $y = f(x) = x - a$ представляет собой прямую с угловым коэффициентом $\text{1}$ и $\text{y}$-пересечением в точке $(0, -a)$.

Рассмотрим функцию $y = g(x) = 2|2|x| - a^2|$.

Эта функция является чётной, так как $g(-x) = 2|2|-x| - a^2| = 2|2|x| - a^2| = g(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Проанализируем вид графика $g(x)$ для $x \geq 0$. В этом случае $|x|=x$, и функция принимает вид $g(x) = 2|2x - a^2|$.

График функции $y=2x-a^2$ — прямая. График $y=|2x-a^2|$ получается отражением части прямой, лежащей ниже оси $Ox$, вверх. Вершина "галочки" находится в точке, где $2x-a^2=0$, то есть при $x = a^2/2$. Значение функции в этой точке равно $\text{0}$.

Таким образом, график $g(x)$ для $x \geq 0$ состоит из двух лучей, исходящих из точки $(a^2/2, 0)$.

При $0 \leq x < a^2/2$, $g(x) = 2(a^2 - 2x) = 2a^2 - 4x$. Это отрезок прямой с угловым коэффициентом $-4$.

При $x \geq a^2/2$, $g(x) = 2(2x - a^2) = 4x - 2a^2$. Это луч с угловым коэффициентом $\text{4}$.

В силу чётности, график $g(x)$ для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x > 0$. В итоге, график $g(x)$ имеет форму буквы "W" с тремя "вершинами" (точками излома):

• Два минимума (острия "W") в точках $(\pm a^2/2, 0)$.
• Один локальный максимум (центральный пик "W") в точке $(0, g(0)) = (0, 2|0 - a^2|) = (0, 2a^2)$.

Уравнение будет иметь три различных корня, если прямая $y=x-a$ пересекает график $y=g(x)$ в трёх различных точках. Такое количество пересечений для прямой и графика вида "W" обычно достигается, когда прямая проходит через одну из точек излома графика. Рассмотрим эти случаи.

Случай 1. Прямая проходит через центральный пик $(0, 2a^2)$.

Координаты точки должны удовлетворять уравнению прямой $y=x-a$:

$2a^2 = 0 - a$

$2a^2 + a = 0$

$a(2a + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения: $a=0$ и $a=-1/2$.

Если $a=0$, уравнение принимает вид $x = 2|2|x|| = 4|x|$.

При $x \geq 0$: $x=4x \Rightarrow 3x=0 \Rightarrow x=0$.

При $x < 0$: $x=-4x \Rightarrow 5x=0 \Rightarrow x=0$.

Уравнение имеет единственный корень $x=0$. Следовательно, $a=0$ не подходит.

Если $a=-1/2$, уравнение принимает вид $x - (-1/2) = 2|2|x| - (-1/2)^2|$, то есть $x + 1/2 = 2|2|x| - 1/4|$.

Прямая $y=x+1/2$ проходит через точку $(0, 1/2)$, что и является вершиной $g(x)=2|2|x|-1/4|$ при $x=0$. Таким образом, $x=0$ — один из корней.

Найдём остальные корни, решая уравнения для других участков графика $g(x)$:

Для $x > a^2/2 = 1/8$: $x+1/2 = 2(2x-1/4) \Rightarrow x+1/2=4x-1/2 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x=1/3$. Корень $1/3 > 1/8$, подходит.

Для $x < -a^2/2 = -1/8$: $x+1/2 = 2(-(-2x-1/4)) = 2(2x+1/4) = 4x+1/2 \Rightarrow 3x=0 \Rightarrow x=0$. Не входит в интервал $x<-1/8$.

Подождите, для $x < -1/8$, $g(x) = 2(-(2(-x)-1/4)) = 2(-(-2x-1/4)) = -4x - 1/2$.

$x+1/2 = -4x-1/2 \Rightarrow 5x = -1 \Rightarrow x=-1/5$. Корень $-1/5 < -1/8$, подходит.

При $a=-1/2$ мы имеем три корня: $x_1=-1/5$, $x_2=0$, $x_3=1/3$. Значение $a=-1/2$ является решением.

Случай 2. Прямая проходит через левый минимум $(-a^2/2, 0)$.

Координаты точки должны удовлетворять уравнению прямой $y=x-a$:

$0 = -a^2/2 - a$

$-a(a/2 + 1) = 0$

Отсюда $a=0$ (не подходит) или $a/2+1=0 \Rightarrow a=-2$.

Если $a=-2$, уравнение принимает вид $x+2 = 2|2|x| - 4|$.

Прямая $y=x+2$ проходит через точку $(-2,0)$, что является левым минимумом графика $g(x)=2|2|x|-4|$, так как $(-(-2)^2/2, 0) = (-2,0)$. Таким образом, $x=-2$ — один из корней.

Найдём остальные корни:

Для $0 < x < 2$: $g(x)=2(4-2x)=8-4x$. Решаем $x+2=8-4x \Rightarrow 5x=6 \Rightarrow x=6/5$. Корень $6/5$ находится в интервале $(0,2)$, подходит.

Для $x > 2$: $g(x)=2(2x-4)=4x-8$. Решаем $x+2=4x-8 \Rightarrow 3x=10 \Rightarrow x=10/3$. Корень $10/3 > 2$, подходит.

При $a=-2$ мы имеем три корня: $x_1=-2$, $x_2=6/5$, $x_3=10/3$. Значение $a=-2$ является решением.

Случай 3. Прямая проходит через правый минимум $(a^2/2, 0)$.

Координаты точки должны удовлетворять уравнению прямой $y=x-a$:

$0 = a^2/2 - a$

$a(a/2 - 1) = 0$

Отсюда $a=0$ (не подходит) или $a/2-1=0 \Rightarrow a=2$.

Если $a=2$, уравнение принимает вид $x-2 = 2|2|x|-4|$.

Правая часть уравнения неотрицательна, поэтому должно выполняться условие $x-2 \geq 0$, то есть $x \geq 2$.

При $x \geq 2$, $|x|=x$ и $2x-4 \geq 0$. Уравнение упрощается:

$x-2 = 2(2x-4)$

$x-2 = 4x-8$

$3x=6 \Rightarrow x=2$.

Единственный корень $x=2$ удовлетворяет условию $x \geq 2$. Таким образом, при $a=2$ уравнение имеет только один корень. Это значение не является решением.

Итак, уравнение имеет три различных корня при двух значениях параметра $\text{a}$.

Ответ: $a = -2, a = -1/2$.