Номер 9.95, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.95. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} |x - 1| + |y - 5| = 1, \\ y = 5 + |x - 1|; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{16}{15}, \\ x^2 - y^2 = 16. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} |x - 1| + |y - 5| = 1, \\ y = 5 + |x - 1| \end{cases} $

Из второго уравнения системы можно выразить $|x - 1|$:

$|x - 1| = y - 5$

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, должно выполняться условие $y - 5 \ge 0$, то есть $y \ge 5$.

Теперь подставим выражение $|x - 1| = y - 5$ в первое уравнение системы:

$(y - 5) + |y - 5| = 1$

Так как мы уже установили, что $y \ge 5$, то выражение $y - 5$ является неотрицательным, и следовательно, $|y - 5| = y - 5$.

Уравнение принимает вид:

$(y - 5) + (y - 5) = 1$

$2(y - 5) = 1$

$y - 5 = \frac{1}{2}$

$y = 5 + \frac{1}{2} = 5.5$

Найденное значение $y=5.5$ удовлетворяет условию $y \ge 5$.

Теперь найдем значения $\text{x}$, используя ранее полученное соотношение $|x - 1| = y - 5$:

$|x - 1| = 5.5 - 5$

$|x - 1| = 0.5$

Это уравнение с модулем имеет два решения:

1) $x - 1 = 0.5 \implies x = 1.5$

2) $x - 1 = -0.5 \implies x = 0.5$

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(1.5; 5.5)$, $(0.5; 5.5)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{16}{15}, \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{16}{15}$

Из второго уравнения системы нам известно, что $x^2 - y^2 = 16$. Подставим это значение в числитель дроби в преобразованном первом уравнении:

$\frac{16}{xy} = \frac{16}{15}$

Разделив обе части на 16, получим:

$\frac{1}{xy} = \frac{1}{15}$

Отсюда следует, что $xy = 15$.

Теперь исходную систему можно заменить на более простую эквивалентную систему:

$ \begin{cases} xy = 15, \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\text{y}$ через $\text{x}$: $y = \frac{15}{x}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - \left(\frac{15}{x}\right)^2 = 16$

$x^2 - \frac{225}{x^2} = 16$

Умножим все члены уравнения на $x^2$ (что допустимо, так как $x \neq 0$):

$x^4 - 225 = 16x^2$

$x^4 - 16x^2 - 225 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $\text{x}$ - вещественное число, то $t \ge 0$.

$t^2 - 16t - 225 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$

$t_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{16 \pm 34}{2}$

Находим два корня для $\text{t}$:

$t_1 = \frac{16 + 34}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{16 - 34}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 25$. Корень $t_2 = -9$ является посторонним.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 25$

Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $\text{y}$ из соотношения $y = \frac{15}{x}$:

При $x_1 = 5$, $y_1 = \frac{15}{5} = 3$.

При $x_2 = -5$, $y_2 = \frac{15}{-5} = -3$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(5; 3)$, $(-5; -3)$.