Номер 9.92, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.91-9.93 решите системы уравнений.

9.92.1) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ x^2 - 3xy + 5y^2 = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x + 4y = 12, \\ x^2 + y^2 = 5,76; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5x - 12y = 60, \\ x^2 + y^2 = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x = 3y, \\ x^2 + 5xy + 7y^2 = 31. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x^2 - 3xy + 5y^2 = 3 \end{cases} $

Выразим $\text{x}$ из первого уравнения: $x = 3 - 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(3 - 2y)^2 - 3(3 - 2y)y + 5y^2 = 3$

Раскроем скобки и упростим:

$(9 - 12y + 4y^2) - (9y - 6y^2) + 5y^2 = 3$

$9 - 12y + 4y^2 - 9y + 6y^2 + 5y^2 = 3$

Приведем подобные члены:

$15y^2 - 21y + 9 = 3$

$15y^2 - 21y + 6 = 0$

Разделим уравнение на 3, чтобы упростить:

$5y^2 - 7y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $\text{y}$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$.

$y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 3}{10} = 1$

$y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения $\text{x}$.

При $y_1 = 1$, $x_1 = 3 - 2(1) = 1$.

При $y_2 = \frac{2}{5}$, $x_2 = 3 - 2(\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{15 - 4}{5} = \frac{11}{5}$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 1)$, $(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 4y = 12 \\ x^2 + y^2 = 5,76 \end{cases} $

Первое уравнение — это уравнение прямой. Второе уравнение — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{5,76} = 2,4$.

Найдем расстояние от центра окружности $(0,0)$ до прямой $3x + 4y - 12 = 0$ по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$:

$d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2,4$.

Так как расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ($d = R = 2,4$), прямая касается окружности в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Для нахождения этого решения, выразим $\text{x}$ из первого уравнения: $x = \frac{12 - 4y}{3} = 4 - \frac{4}{3}y$.

Подставим во второе уравнение, представив $5,76$ как $\frac{144}{25}$:

$(4 - \frac{4}{3}y)^2 + y^2 = \frac{144}{25}$

$16 - \frac{32}{3}y + \frac{16}{9}y^2 + y^2 = \frac{144}{25}$

$\frac{25}{9}y^2 - \frac{32}{3}y + 16 - \frac{144}{25} = 0$

$\frac{25}{9}y^2 - \frac{32}{3}y + \frac{400 - 144}{25} = 0$

$\frac{25}{9}y^2 - \frac{32}{3}y + \frac{256}{25} = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(\frac{5}{3}y - \frac{16}{5})^2 = 0$

$\frac{5}{3}y = \frac{16}{5} \Rightarrow y = \frac{16}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{48}{25} = 1,92$.

Найдем $\text{x}$:

$x = 4 - \frac{4}{3}y = 4 - \frac{4}{3} \cdot \frac{48}{25} = 4 - \frac{4 \cdot 16}{25} = 4 - \frac{64}{25} = \frac{100 - 64}{25} = \frac{36}{25} = 1,44$.

Ответ: $(\frac{36}{25}, \frac{48}{25})$ или $(1,44; 1,92)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - 12y = 60 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $

Как и в предыдущем случае, имеем уравнение прямой и уравнение окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Найдем расстояние от центра окружности $(0,0)$ до прямой $5x - 12y - 60 = 0$:

$d = \frac{|5 \cdot 0 - 12 \cdot 0 - 60|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-60|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{60}{\sqrt{169}} = \frac{60}{13}$.

$d = \frac{60}{13} \approx 4,615$. Радиус окружности $R=2$.

Так как расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > R$), прямая и окружность не пересекаются.

Алгебраически это означает, что у системы нет действительных решений. Если мы подставим $x = \frac{60+12y}{5}$ во второе уравнение, получим квадратное уравнение $169y^2 + 1440y + 3500 = 0$, дискриминант которого $D = 1440^2 - 4 \cdot 169 \cdot 3500 = 2073600 - 2366000 = -292400 < 0$. Отрицательный дискриминант подтверждает отсутствие действительных корней.

Ответ: нет решений.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x = 3y \\ x^2 + 5xy + 7y^2 = 31 \end{cases} $

Подставим выражение для $\text{x}$ из первого уравнения во второе:

$(3y)^2 + 5(3y)y + 7y^2 = 31$

Упростим полученное уравнение:

$9y^2 + 15y^2 + 7y^2 = 31$

$31y^2 = 31$

$y^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для $\text{y}$:

$y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $\text{x}$ по формуле $x = 3y$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -1)$.