Номер 9.85, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.83-9.86 решите уравнения.

9.85. 1) $x|x|-|x^2+3x+3|+8=0$;

2) $(x-2)|x+3|=5|x^2-x+2|-20$.

1) $x|x| - |x^2 + 3x + 3| + 8 = 0$

Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля $|x^2 + 3x + 3|$. Это квадратичная функция $y = x^2 + 3x + 3$. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положительный ($a=1 > 0$), парабола не пересекает ось $Ox$ и ее ветви направлены вверх. Это означает, что выражение $x^2 + 3x + 3$ всегда положительно при любом значении $\text{x}$.

Следовательно, $|x^2 + 3x + 3| = x^2 + 3x + 3$.

Подставим это в исходное уравнение:

$x|x| - (x^2 + 3x + 3) + 8 = 0$

$x|x| - x^2 - 3x - 3 + 8 = 0$

$x|x| - x^2 - 3x + 5 = 0$

Теперь раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot x - x^2 - 3x + 5 = 0$

$x^2 - x^2 - 3x + 5 = 0$

$-3x + 5 = 0$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Поскольку $\frac{5}{3} \ge 0$, это решение удовлетворяет условию данного случая.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x \cdot (-x) - x^2 - 3x + 5 = 0$

$-x^2 - x^2 - 3x + 5 = 0$

$-2x^2 - 3x + 5 = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$2x^2 + 3x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Проверим соответствие корней условию $x < 0$.

Корень $x_1 = -\frac{5}{2}$ удовлетворяет условию $-\frac{5}{2} < 0$.

Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $1 < 0$, поэтому является посторонним для данного случая.

Объединяя решения из двух случаев, получаем два корня исходного уравнения.

Ответ: $-\frac{5}{2}; \frac{5}{3}$

2) $(x-2)|x+3| = 5|x^2 - x + 2| - 20$

Рассмотрим выражение под знаком модуля $|x^2 - x + 2|$. Это квадратичная функция $y = x^2 - x + 2$. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - x + 2$ всегда положительно.

Значит, $|x^2 - x + 2| = x^2 - x + 2$.

Подставим это в уравнение:

$(x-2)|x+3| = 5(x^2 - x + 2) - 20$

$(x-2)|x+3| = 5x^2 - 5x + 10 - 20$

$(x-2)|x+3| = 5x^2 - 5x - 10$

Разложим на множители правую часть уравнения:

$5x^2 - 5x - 10 = 5(x^2 - x - 2)$.

Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=-1$, поэтому $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

Уравнение принимает вид:

$(x-2)|x+3| = 5(x-2)(x+1)$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x-2)|x+3| - 5(x-2)(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)(|x+3| - 5(x+1)) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

Либо $x-2=0$, откуда $x=2$.

Либо $|x+3| - 5(x+1) = 0$, то есть $|x+3| = 5(x+1)$.

Решим второе уравнение. По определению модуля, его значение неотрицательно, поэтому правая часть также должна быть неотрицательной: $5(x+1) \ge 0$, что означает $x+1 \ge 0$, или $x \ge -1$.

Раскроем модуль при условии $x \ge -1$. Так как при $x \ge -1$ выражение $x+3$ всегда положительно, то $|x+3| = x+3$.

$x+3 = 5(x+1)$

$x+3 = 5x+5$

$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Найденный корень $x = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $x \ge -1$, поэтому является решением.

Итак, мы получили два корня исходного уравнения.

Ответ: $-\frac{1}{2}; 2$