Номер 9.83, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.83-9.86 решите уравнения.

9.83. 1) $|x-2|+|x+4|=8$;

2) $|x-5|-|x-2|=-3$.

1) Решим уравнение $|x - 2| + |x + 4| = 8$.

Для решения уравнения с модулями воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x - 2 = 0 \implies x = 2$

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -4)$, $[-4; 2)$ и $[2; +\infty)$. Раскроем модули на каждом из этих интервалов.

1. При $x < -4$ оба выражения под модулями отрицательны, поэтому $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$ и $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$. Уравнение принимает вид:

$(-x + 2) + (-x - 4) = 8$

$-2x - 2 = 8$

$-2x = 10$

$x = -5$

Так как $-5 < -4$, корень $x = -5$ принадлежит рассматриваемому интервалу и является решением уравнения.

2. При $-4 \le x < 2$ выражение $x - 2$ отрицательно, а $x + 4$ неотрицательно. Поэтому $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$ и $|x + 4| = x + 4$. Уравнение принимает вид:

$(-x + 2) + (x + 4) = 8$

$6 = 8$

Получено неверное равенство, следовательно, на этом интервале корней нет.

3. При $x \ge 2$ оба выражения под модулями неотрицательны, поэтому $|x - 2| = x - 2$ и $|x + 4| = x + 4$. Уравнение принимает вид:

$(x - 2) + (x + 4) = 8$

$2x + 2 = 8$

$2x = 6$

$x = 3$

Так как $3 \ge 2$, корень $x = 3$ принадлежит рассматриваемому интервалу и является решением уравнения.

Объединяя найденные решения, получаем корни исходного уравнения.

Ответ: $-5; 3$.

2) Решим уравнение $|x - 5| - |x - 2| = -3$.

Используем метод интервалов. Найдем нули подмодульных выражений:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

$x - 2 = 0 \implies x = 2$

Точки $x=2$ и $x=5$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $[2; 5)$ и $[5; +\infty)$. Раскроем модули на каждом из интервалов.

1. При $x < 2$ оба выражения $x-5$ и $x-2$ отрицательны. Тогда $|x - 5| = -(x - 5)$ и $|x - 2| = -(x - 2)$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 5) - (-(x - 2)) = -3$

$-x + 5 + x - 2 = -3$

$3 = -3$

Это неверное равенство, значит, на этом интервале решений нет.

2. При $2 \le x < 5$ выражение $x - 5$ отрицательно, а $x - 2$ неотрицательно. Тогда $|x - 5| = -(x - 5)$ и $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид:

$-(x - 5) - (x - 2) = -3$

$-x + 5 - x + 2 = -3$

$-2x + 7 = -3$

$-2x = -10$

$x = 5$

Полученное значение $x=5$ не входит в интервал $[2; 5)$, так как интервал строгий справа. Следовательно, на этом интервале решений нет.

3. При $x \ge 5$ оба выражения $x-5$ и $x-2$ неотрицательны. Тогда $|x - 5| = x - 5$ и $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид:

$(x - 5) - (x - 2) = -3$

$x - 5 - x + 2 = -3$

$-3 = -3$

Это верное тождество, которое выполняется для всех $\text{x}$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, решением является весь промежуток $x \ge 5$.

Ответ: $[5; +\infty)$.