Номер 9.81, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.81. 1) $\sqrt[3]{54 + \sqrt{x}} + \sqrt[3]{54 - \sqrt{x}} = \sqrt[3]{18};$

2) $\sqrt[3]{9 - \sqrt{x+1}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{x+1}} = 4.$

1)

Данное уравнение: $\sqrt[3]{54 + \sqrt{x}} + \sqrt[3]{54 - \sqrt{x}} = \sqrt[3]{18}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется существованием выражения $\sqrt{x}$, что требует $x \ge 0$.

Для решения возведем обе части уравнения в куб. Воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{54 + \sqrt{x}}$ и $b = \sqrt[3]{54 - \sqrt{x}}$. Тогда исходное уравнение можно записать как $a+b = \sqrt[3]{18}$.

Возводим в куб:

$(a+b)^3 = (\sqrt[3]{18})^3$

$a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = 18$

Найдем значения $a^3$, $b^3$ и $ab$.

$a^3 = (\sqrt[3]{54 + \sqrt{x}})^3 = 54 + \sqrt{x}$

$b^3 = (\sqrt[3]{54 - \sqrt{x}})^3 = 54 - \sqrt{x}$

Сумма $a^3 + b^3 = (54 + \sqrt{x}) + (54 - \sqrt{x}) = 108$.

Произведение $ab = \sqrt[3]{(54 + \sqrt{x})(54 - \sqrt{x})} = \sqrt[3]{54^2 - (\sqrt{x})^2} = \sqrt[3]{2916 - x}$.

Подставим найденные значения и исходное условие $a+b = \sqrt[3]{18}$ в уравнение, полученное после возведения в куб:

$108 + 3\sqrt[3]{2916 - x} \cdot \sqrt[3]{18} = 18$

Объединим кубические корни:

$108 + 3\sqrt[3]{18(2916 - x)} = 18$

Решим это уравнение относительно $\text{x}$:

$3\sqrt[3]{18(2916 - x)} = 18 - 108$

$3\sqrt[3]{18(2916 - x)} = -90$

$\sqrt[3]{18(2916 - x)} = -30$

Возведем обе части в куб:

$18(2916 - x) = (-30)^3$

$18(2916 - x) = -27000$

$2916 - x = \frac{-27000}{18}$

$2916 - x = -1500$

$x = 2916 + 1500$

$x = 4416$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $4416 \ge 0$, решение является допустимым.

Ответ: $4416$.

2)

Данное уравнение: $\sqrt[3]{9 - \sqrt{x+1}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{x+1}} = 4$.

ОДЗ определяется условием подкоренного выражения: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Для упрощения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Так как квадратный корень всегда неотрицателен, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt[3]{9-y} + \sqrt[3]{7+y} = 4$

Возведем обе части этого нового уравнения в куб по формуле $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

$(9-y) + (7+y) + 3\sqrt[3]{(9-y)(7+y)}(\sqrt[3]{9-y} + \sqrt[3]{7+y}) = 4^3$

Заменим сумму кубических корней на 4 (согласно уравнению) и упростим:

$16 + 3\sqrt[3]{(9-y)(7+y)} \cdot 4 = 64$

$16 + 12\sqrt[3]{(9-y)(7+y)} = 64$

$12\sqrt[3]{(9-y)(7+y)} = 64 - 16$

$12\sqrt[3]{(9-y)(7+y)} = 48$

$\sqrt[3]{(9-y)(7+y)} = 4$

Снова возведем обе части в куб:

$(9-y)(7+y) = 4^3$

$(9-y)(7+y) = 64$

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение относительно $\text{y}$:

$63 + 9y - 7y - y^2 = 64$

$63 + 2y - y^2 = 64$

$y^2 - 2y + 1 = 0$

$(y-1)^2 = 0$

Отсюда получаем $y=1$. Это значение удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{x+1} = y$

$\sqrt{x+1} = 1$

Возведем в квадрат обе части:

$x+1 = 1^2$

$x+1 = 1$

$x=0$

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge -1$). Подставим $x=0$ в исходное уравнение для проверки:

$\sqrt[3]{9 - \sqrt{0+1}} + \sqrt[3]{7 + \sqrt{0+1}} = \sqrt[3]{9-1} + \sqrt[3]{7+1} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4$.

Равенство $4=4$ верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $\text{0}$.