Номер 9.74, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.73-9.76 решите уравнения.

9.74. 1) $\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 7x - 30} = \frac{5x^2 - x - 42}{x^2 + 7x - 30}$;

2) $x^2 + \frac{3x - 1}{x + 4} = 16 - \frac{1 - 3x}{4 + x}$.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 7x - 30} = \frac{5x^2 - x - 42}{x^2 + 7x - 30} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$ x^2 + 7x - 30 \neq 0 $

Решим квадратное уравнение $ x^2 + 7x - 30 = 0 $ с помощью дискриминанта, чтобы найти значения, которые нужно исключить.

$ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $

$ x_1 = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10 $

$ x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

Следовательно, ОДЗ: $ x \neq -10 $ и $ x \neq 3 $.

Так как знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять числители (при условии, что $\text{x}$ входит в ОДЗ).

$ x^2 - 3x = 5x^2 - x - 42 $

Перенесем все члены в правую сторону и приведем подобные слагаемые.

$ 0 = 5x^2 - x^2 - x + 3x - 42 $

$ 4x^2 + 2x - 42 = 0 $

Для удобства разделим все уравнение на 2.

$ 2x^2 + x - 21 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение, используя дискриминант.

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2 $

$ x_1 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5 $

$ x_2 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ.

Корень $ x_1 = -3.5 $ удовлетворяет условиям ОДЗ ($ -3.5 \neq -10 $ и $ -3.5 \neq 3 $).

Корень $ x_2 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 3 $), поэтому является посторонним корнем.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: -3.5

2)

Исходное уравнение: $ x^2 + \frac{3x - 1}{x + 4} = 16 - \frac{1 - 3x}{4 + x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю.

$ x + 4 \neq 0 $, откуда $ x \neq -4 $.

Перенесем дробь из правой части уравнения в левую, изменив ее знак.

$ x^2 + \frac{3x - 1}{x + 4} + \frac{1 - 3x}{4 + x} = 16 $

Поскольку $ x + 4 = 4 + x $, дроби имеют общий знаменатель. Сложим их числители.

$ x^2 + \frac{(3x - 1) + (1 - 3x)}{x + 4} = 16 $

Упростим выражение в числителе.

$ 3x - 1 + 1 - 3x = 0 $

Уравнение принимает вид:

$ x^2 + \frac{0}{x + 4} = 16 $

При любом значении $\text{x}$ из ОДЗ ($ x \neq -4 $) дробь $ \frac{0}{x + 4} $ равна 0. Уравнение упрощается до:

$ x^2 + 0 = 16 $

$ x^2 = 16 $

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$ x_1 = 4 $

$ x_2 = -4 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

Корень $ x_1 = 4 $ удовлетворяет условию $ x \neq -4 $.

Корень $ x_2 = -4 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $ x = -4 $ является посторонним корнем.

Единственным решением уравнения является $ x = 4 $.

Ответ: 4