Номер 9.67, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.67. Докажите, что остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x - a$ равен $f(a)$ (теорема Безу).

Согласно алгоритму деления многочленов (деление с остатком), при делении многочлена $f(x)$ (делимое) на многочлен $g(x)$ (делитель) мы получаем многочлен-частное $q(x)$ и многочлен-остаток $r(x)$ такие, что выполняется равенство:

$f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$

При этом степень многочлена-остатка $r(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $g(x)$.

В данной задаче мы делим многочлен $f(x)$ на двучлен (бином) $x-a$. То есть, в нашем случае делитель $g(x) = x-a$.

Степень делителя $g(x) = x-a$ равна 1.

Следовательно, степень остатка $r(x)$ должна быть строго меньше 1. Это означает, что $r(x)$ является многочленом нулевой степени или нулевым многочленом, то есть константой. Обозначим эту константу буквой $\text{R}$. Таким образом, $r(x) = R$.

Теперь наше равенство для деления с остатком принимает вид:

$f(x) = (x-a) \cdot q(x) + R$

Это равенство является тождеством, то есть оно справедливо для любого значения переменной $\text{x}$. Чтобы найти значение константы $\text{R}$, мы можем подставить в это равенство любое удобное для нас значение $\text{x}$. Наиболее удобным является значение $x=a$, так как при этом множитель $(x-a)$ обращается в ноль.

Подставим $x=a$ в тождество:

$f(a) = (a-a) \cdot q(a) + R$

Выполним вычисления в правой части:

$f(a) = 0 \cdot q(a) + R$

$f(a) = 0 + R$

$f(a) = R$

Таким образом, мы получили, что остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x-a$ равен значению многочлена $f(x)$ в точке $x=a$.

Ответ: Мы доказали, что остаток $\text{R}$ от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x-a$ равен $f(a)$, что и требовалось доказать.