Номер 9.66, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.66. При каком значении $\text{a}$ остаток от деления $(x^3 + 6x^2 + ax + 12) : (x + 4)$ равен нулю?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-c)$ равен значению этого многочлена в точке $\text{c}$, то есть $P(c)$.

В данном случае, делимый многочлен $P(x) = x^3 + 6x^2 + ax + 12$.

Делитель — это двучлен $(x+4)$. Его можно представить в стандартном для теоремы Безу виде $(x - c)$, а именно: $(x - (-4))$. Отсюда следует, что $c = -4$.

По условию задачи, остаток от деления должен быть равен нулю. Это означает, что значение многочлена $P(x)$ при $x = -4$ должно быть равно нулю, то есть $P(-4) = 0$.

Подставим значение $x = -4$ в многочлен и приравняем полученное выражение к нулю:

$P(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + a(-4) + 12 = 0$

Теперь выполним вычисления пошагово:

$(-4)^3 = -64$

$6(-4)^2 = 6 \cdot 16 = 96$

$a(-4) = -4a$

Подставим вычисленные значения обратно в уравнение:

$-64 + 96 - 4a + 12 = 0$

Сложим все числовые члены:

$(96 - 64) + 12 - 4a = 0$

$32 + 12 - 4a = 0$

$44 - 4a = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $\text{a}$:

$44 = 4a$

$a = \frac{44}{4}$

$a = 11$

Таким образом, при $a = 11$ остаток от деления многочлена $(x^3 + 6x^2 + ax + 12)$ на $(x+4)$ равен нулю.

Ответ: 11