Номер 9.65, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.65. Разделите многочлен на многочлен с остатком:

1) $x^4 + x^2 + 1$ на $x + 5$;

2) $x^7 - 1$ на $x^3 + x + 1$;

3) $x^6 - 64$ на $x - 3$.

1) Чтобы разделить многочлен $x^4 + x^2 + 1$ на многочлен $x + 5$ с остатком, воспользуемся методом деления многочленов "в столбик". Для удобства в делимом $x^4 + x^2 + 1$ запишем все степени переменной $\text{x}$ с соответствующими коэффициентами: $x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1$.

Процесс деления:

1. Делим старший член делимого ($x^4$) на старший член делителя ($\text{x}$), получаем $x^3$. Это первый член частного.

2. Умножаем $x^3$ на делитель $x+5$: $x^3(x+5) = x^4 + 5x^3$.

3. Вычитаем полученный результат из делимого: $(x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1) - (x^4 + 5x^3) = -5x^3 + x^2 + 0x + 1$.

4. Повторяем процесс для нового многочлена $-5x^3 + x^2 + 0x + 1$. Делим $-5x^3$ на $\text{x}$, получаем $-5x^2$.

5. Умножаем $-5x^2$ на $x+5$: $-5x^2(x+5) = -5x^3 - 25x^2$.

6. Вычитаем: $(-5x^3 + x^2) - (-5x^3 - 25x^2) = 26x^2$.

7. Сносим следующий член $0x$. Новый многочлен $26x^2 + 0x$. Делим $26x^2$ на $\text{x}$, получаем $26x$.

8. Умножаем $26x$ на $x+5$: $26x(x+5) = 26x^2 + 130x$.

9. Вычитаем: $(26x^2 + 0x) - (26x^2 + 130x) = -130x$.

10. Сносим следующий член $\text{1}$. Новый многочлен $-130x + 1$. Делим $-130x$ на $\text{x}$, получаем $-130$.

11. Умножаем $-130$ на $x+5$: $-130(x+5) = -130x - 650$.

12. Вычитаем, чтобы найти остаток: $(-130x + 1) - (-130x - 650) = 1 + 650 = 651$.

Степень остатка (0) меньше степени делителя (1), так что деление завершено. Частное (неполное частное) равно $x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, а остаток равен $651$.

Также остаток можно найти по теореме Безу. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x-c$ равен $P(c)$. В нашем случае $P(x) = x^4 + x^2 + 1$, а делитель $x+5=x-(-5)$, т.е. $c=-5$. Остаток равен $P(-5) = (-5)^4 + (-5)^2 + 1 = 625 + 25 + 1 = 651$.

Ответ: $x^4 + x^2 + 1 = (x+5)(x^3 - 5x^2 + 26x - 130) + 651$.

2) Разделим многочлен $x^7 - 1$ на $x^3 + x + 1$ "в столбик". Дополним делимое недостающими членами с нулевыми коэффициентами.

1. Делим $x^7$ на $x^3$, получаем $x^4$. Умножаем $x^4$ на $x^3+x+1$: $x^4(x^3+x+1) = x^7 + x^5 + x^4$. Вычитаем из делимого: $(x^7 - 1) - (x^7 + x^5 + x^4) = -x^5 - x^4 - 1$.

2. Делим старший член нового многочлена ($-x^5$) на $x^3$, получаем $-x^2$. Умножаем $-x^2$ на $x^3+x+1$: $-x^2(x^3+x+1) = -x^5 - x^3 - x^2$. Вычитаем: $(-x^5 - x^4 - 1) - (-x^5 - x^3 - x^2) = -x^4 + x^3 + x^2 - 1$.

3. Делим старший член ($-x^4$) на $x^3$, получаем $-x$. Умножаем $-x$ на $x^3+x+1$: $-x(x^3+x+1) = -x^4 - x^2 - x$. Вычитаем: $(-x^4 + x^3 + x^2 - 1) - (-x^4 - x^2 - x) = x^3 + 2x^2 + x - 1$.

4. Делим старший член ($x^3$) на $x^3$, получаем $\text{1}$. Умножаем $\text{1}$ на $x^3+x+1$: $1(x^3+x+1) = x^3 + x + 1$. Вычитаем, чтобы найти остаток: $(x^3 + 2x^2 + x - 1) - (x^3 + x + 1) = 2x^2 - 2$.

Степень остатка $2x^2-2$ (вторая) меньше степени делителя $x^3+x+1$ (третья), деление завершено.

Частное равно $x^4 - x^2 - x + 1$, а остаток равен $2x^2 - 2$.

Ответ: $x^7 - 1 = (x^3 + x + 1)(x^4 - x^2 - x + 1) + 2x^2 - 2$.

3) Разделим многочлен $x^6 - 64$ на $x - 3$. Поскольку делитель является линейным двучленом вида $x-c$, остаток можно найти по теореме Безу.

Остаток $\text{R}$ равен значению многочлена $P(x) = x^6 - 64$ в точке $x=3$.

$R = P(3) = 3^6 - 64 = 729 - 64 = 665$.

Для нахождения частного выполним деление "в столбик", дополнив делимое $x^6 - 64$ членами с нулевыми коэффициентами: $x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 64$.

1. Делим $x^6$ на $\text{x}$, получаем $x^5$. Вычитаем $x^5(x-3) = x^6 - 3x^5$. Промежуточный результат: $3x^5$.

2. Делим $3x^5$ на $\text{x}$, получаем $3x^4$. Вычитаем $3x^4(x-3) = 3x^5 - 9x^4$. Промежуточный результат: $9x^4$.

3. Делим $9x^4$ на $\text{x}$, получаем $9x^3$. Вычитаем $9x^3(x-3) = 9x^4 - 27x^3$. Промежуточный результат: $27x^3$.

4. Делим $27x^3$ на $\text{x}$, получаем $27x^2$. Вычитаем $27x^2(x-3) = 27x^3 - 81x^2$. Промежуточный результат: $81x^2$.

5. Делим $81x^2$ на $\text{x}$, получаем $81x$. Вычитаем $81x(x-3) = 81x^2 - 243x$. Промежуточный результат: $243x$.

6. Делим $243x$ на $\text{x}$, получаем $243$. Вычитаем $243(x-3) = 243x - 729$.

7. Находим остаток: $(-64) - (-729) = -64 + 729 = 665$.

Степень остатка $665$ (нулевая) меньше степени делителя $x-3$ (первая), деление закончено. Частное равно $x^5 + 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 81x + 243$, а остаток $665$, что совпадает с расчетом по теореме Безу.

Ответ: $x^6 - 64 = (x-3)(x^5 + 3x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 81x + 243) + 665$.