Номер 9.62, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.62. Не решая уравнение $3x^2 - x - 1 = 0$, найдите значения:

1) $x_1 + x_2$;

2) $x_1 x_2$;

3) $x_1^2 + x_2^2$;

4) $x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$;

5) $x_1^3 + 3x_1^2 x_2 + 3x_1 x_2^2 + x_2^3$;

6) $x_1^4 x_2 + x_1 x_2^4$;

7) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$.

Для решения данной задачи, не находя корней $x_1$ и $x_2$ уравнения, мы воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения между его корнями:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $3x^2 - x - 1 = 0$ коэффициенты равны $a = 3$, $b = -1$, $c = -1$.

Найдем сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$

$x_1 x_2 = \frac{-1}{3}$

Теперь, используя эти два основных значения, мы можем найти значения всех предложенных выражений.

1) $x_1 + x_2$;

Это значение является суммой корней, которую мы уже нашли по теореме Виета.

$x_1 + x_2 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) $x_1 x_2$;

Это значение является произведением корней, которое мы также нашли по теореме Виета.

$x_1 x_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

3) $x_1^2 + x_2^2$;

Чтобы найти это значение, преобразуем выражение, используя формулу квадрата суммы $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим известные нам значения $x_1 + x_2 = \frac{1}{3}$ и $x_1x_2 = -\frac{1}{3}$:

$(\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

4) $x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$;

Это выражение является полным квадратом суммы $x_1$ и $x_2$.

$x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2$.

Подставим значение суммы корней $x_1 + x_2 = \frac{1}{3}$:

$(x_1 + x_2)^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

5) $x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3$;

Это выражение является формулой куба суммы $(x_1 + x_2)^3$.

$x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3$.

Подставим значение суммы корней $x_1 + x_2 = \frac{1}{3}$:

$(x_1 + x_2)^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

6) $x_1^4x_2 + x_1x_2^4$;

Сначала вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:

$x_1^4x_2 + x_1x_2^4 = x_1x_2(x_1^3 + x_2^3)$.

Теперь нам нужно найти значение $x_1^3 + x_2^3$. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1+x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1x_2)$.

Из пункта 3 мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = \frac{7}{9}$. Подставим все известные значения:

$x_1^3 + x_2^3 = (\frac{1}{3})(\frac{7}{9} - (-\frac{1}{3})) = \frac{1}{3}(\frac{7}{9} + \frac{3}{9}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{9} = \frac{10}{27}$.

Наконец, вычислим исходное выражение:

$x_1x_2(x_1^3 + x_2^3) = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{10}{27} = -\frac{10}{81}$.

Ответ: $-\frac{10}{81}$.

7) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$;

Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1 \cdot x_1 + x_2 \cdot x_2}{x_1x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$.

Мы уже нашли значения числителя и знаменателя в предыдущих пунктах:

Числитель: $x_1^2 + x_2^2 = \frac{7}{9}$ (из пункта 3).

Знаменатель: $x_1x_2 = -\frac{1}{3}$ (из пункта 2).

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{\frac{7}{9}}{-\frac{1}{3}} = \frac{7}{9} \cdot (-\frac{3}{1}) = -\frac{21}{9} = -\frac{7}{3}$.

Ответ: $-\frac{7}{3}$.