Номер 9.57, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.57. Докажите тождество: $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = ax^2 + bx + c.$

9.57. Заданное в условии равенство не является тождеством. Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Мы можем показать, что данное равенство не выполняется, приведя контрпример.

Рассмотрим случай, когда $a=1$, $b=2$, $c=1$.

Правая часть равенства $ax^2 + bx + c$ примет вид: $1 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 1 = x^2 + 2x + 1$.

Теперь вычислим левую часть равенства: $a\left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right]$.

Сначала найдем значение выражения $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$. Тогда $\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.

Подставим все значения в левую часть: $1 \cdot \left[ \left(x + \frac{2}{2 \cdot 1}\right)^2 - (-1) \right] = (x+1)^2 + 1 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = x^2 + 2x + 2$.

Сравнивая левую и правую части, получаем: $x^2 + 2x + 2 \neq x^2 + 2x + 1$.

Поскольку мы нашли случай, когда равенство не выполняется, оно не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Стандартное тождество, которое связывает квадратичный трехчлен с его вершинной формой (получаемой методом выделения полного квадрата), выглядит следующим образом: $a\left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right] = ax^2 + bx + c$.

Докажем это исправленное тождество. Для этого преобразуем его левую часть.

1. Раскроем квадрат суммы в скобках, используя формулу сокращенного умножения $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}$.

2. Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества: $a\left[ \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right]$.

3. Внутри квадратных скобок приведем подобные члены. Мы видим две дроби с одинаковым знаменателем $4a^2$, вычтем их: $\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2}$.

4. Упростим полученную дробь: $\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$. Теперь выражение в квадратных скобках имеет вид: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}$.

5. Подставим это обратно и раскроем внешние скобки, умножив каждый член на $\text{a}$: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a \cdot x^2 + a \cdot \frac{b}{a}x + a \cdot \frac{c}{a} = ax^2 + bx + c$.

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью. Таким образом, исправленное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство в задаче не является тождеством, так как, по всей видимости, содержит опечатку. Выше приведено доказательство для исправленного тождества $a\left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right] = ax^2 + bx + c$, которое, вероятно, имелось в виду.