Номер 9.54, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.54. Докажите, что корни уравнения $ax^2 + 2kx + c = 0$ при выполнении условия $k^2 - ac > 0$ определяются по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.

Чтобы доказать данную формулу, воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

В нашем уравнении $ax^2 + 2kx + c = 0$, коэффициенты имеют следующие значения:

• $A = a$
• $B = 2k$
• $C = c$

Подставим эти значения в стандартную формулу корней:

$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках под корнем:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$

Вынесем общий множитель 4 из-под знака корня в числителе:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a}$

Так как $\sqrt{4} = 2$, мы можем вынести двойку из-под корня:

$x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$

Условие $k^2 - ac > 0$ гарантирует, что выражение под корнем является положительным, а значит, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a}$

Сократим дробь на 2:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Таким образом, мы доказали, что корни уравнения $ax^2 + 2kx + c = 0$ при выполнении условия $k^2 - ac > 0$ определяются по указанной формуле. Эта формула известна как формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом.

Ответ: Что и требовалось доказать. Путем подстановки коэффициентов $A=a$, $B=2k$, $C=c$ из уравнения $ax^2 + 2kx + c = 0$ в общую формулу корней квадратного уравнения и последующих упрощений была получена формула $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$.