Номер 9.58, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.58. Пусть $a+b+c=0$. Докажите, что корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ равны $x_1=1$, $x_2=\frac{c}{a}$.

Для доказательства того, что указанные значения являются корнями уравнения, необходимо проверить, обращают ли они уравнение в верное тождество. Мы будем использовать данное нам условие $a+b+c=0$.

Сначала проверим, является ли $x_1 = 1$ корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого подставим значение $x=1$ в левую часть уравнения:

$a(1)^2 + b(1) + c = a \cdot 1 + b + c = a + b + c$

По условию задачи, сумма коэффициентов $a + b + c = 0$. Следовательно, при $x=1$ мы получаем $0=0$, что является верным равенством. Это доказывает, что $x_1 = 1$ действительно является корнем данного уравнения.

Теперь, зная один корень, мы можем найти второй, воспользовавшись теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$) произведение корней вычисляется по формуле:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Мы уже установили, что один из корней, $x_1$, равен 1. Подставим это значение в формулу:

$1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Из этого соотношения напрямую следует, что второй корень $x_2$ равен:

$x_2 = \frac{c}{a}$

Таким образом, мы доказали, что если $a+b+c=0$, то корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$. Это справедливо при условии, что $a \neq 0$, что подразумевается в задаче, так как уравнение является квадратным и в выражении для второго корня есть деление на $\text{a}$.

Ответ: Утверждение доказано. Подстановка $x=1$ в уравнение $ax^2+bx+c=0$ дает выражение $a+b+c$, которое по условию равно нулю, следовательно, $x_1=1$ — корень. По теореме Виета произведение корней $x_1 x_2 = c/a$. Подставляя $x_1=1$, получаем $1 \cdot x_2 = c/a$, откуда $x_2=c/a$.