Номер 9.63, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.63. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:

1) $x_1 = -3, x_2 = 5$;

2) $x_1 = x_2 = 7$;

3) $x_1 = 3a + 1, x_2 = 5a - 2$;

4) $x_1 = 6 - \sqrt{5}, x_2 = 6 + \sqrt{5}$;

5) $x_1 = \sqrt{7} - \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{7} + \sqrt{6}$.

1) Чтобы составить квадратное уравнение, зная его корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$, воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Уравнение будет иметь вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2$.

Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 5 = -15$.

Подставив эти значения в формулу, получаем уравнение:

$x^2 - 2x - 15 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

2) Для корней $x_1 = x_2 = 7$ используем ту же формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 7 + 7 = 14$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 7 \cdot 7 = 49$.

Искомое уравнение: $x^2 - 14x + 49 = 0$.

Ответ: $x^2 - 14x + 49 = 0$.

3) Для корней $x_1 = 3a + 1$ и $x_2 = 5a - 2$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = (3a + 1) + (5a - 2) = 8a - 1$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (3a + 1)(5a - 2) = 15a^2 - 6a + 5a - 2 = 15a^2 - a - 2$.

Подставляем в формулу $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (8a - 1)x + (15a^2 - a - 2) = 0$.

Ответ: $x^2 - (8a - 1)x + 15a^2 - a - 2 = 0$.

4) Для корней $x_1 = 6 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 6 + \sqrt{5}$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = (6 - \sqrt{5}) + (6 + \sqrt{5}) = 12$.

Произведение корней (используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$):

$x_1 \cdot x_2 = (6 - \sqrt{5})(6 + \sqrt{5}) = 6^2 - (\sqrt{5})^2 = 36 - 5 = 31$.

Искомое уравнение: $x^2 - 12x + 31 = 0$.

Ответ: $x^2 - 12x + 31 = 0$.

5) Для корней $x_1 = \sqrt{7} - \sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{7} + \sqrt{6}$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = (\sqrt{7} - \sqrt{6}) + (\sqrt{7} + \sqrt{6}) = 2\sqrt{7}$.

Произведение корней (используя формулу разности квадратов):

$x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2 = 7 - 6 = 1$.

Искомое уравнение: $x^2 - (2\sqrt{7})x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2\sqrt{7}x + 1 = 0$.