Номер 9.61, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.61. При каких значениях а уравнение $(x^2 - 3x - 4)(x^2 - a) = 0$ имеет ровно три корня?

Данное уравнение $(x^2 - 3x - 4)(x^2 - a) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Уравнение выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы можем разбить его на совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 3x - 4 = 0$

2) $x^2 - a = 0$

Сначала решим первое уравнение: $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Итак, первое уравнение дает два различных корня: $x = -1$ и $x = 4$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $x^2 - a = 0$, что эквивалентно $x^2 = a$.

Количество корней этого уравнения зависит от значения параметра $\text{a}$. Для того чтобы исходное уравнение имело ровно три различных корня, необходимо проанализировать, сколько корней дает второе уравнение и не совпадают ли они с уже найденными корнями $x = -1$ и $x = 4$.

Рассмотрим все возможные случаи для параметра $\text{a}$.

Случай 1: $a < 0$

Если $\text{a}$ — отрицательное число, уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. В этом случае общее число корней исходного уравнения будет равно числу корней первого уравнения, то есть два корня ($-1$ и $\text{4}$). Это не соответствует условию задачи.

Случай 2: $a = 0$

Если $a = 0$, второе уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Оно имеет один корень $x = 0$. Этот корень не совпадает ни с одним из корней первого уравнения ($-1$ и $\text{4}$).

Таким образом, множество всех корней исходного уравнения будет $\{-1, 4, 0\}$.

В этом множестве три различных элемента. Следовательно, $a = 0$ является одним из искомых значений.

Случай 3: $a > 0$

Если $\text{a}$ — положительное число, уравнение $x^2 = a$ имеет два различных корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

В общем случае у исходного уравнения было бы четыре корня: $\{-1, 4, \sqrt{a}, -\sqrt{a}\}$. Чтобы общее число корней было равно трем, необходимо, чтобы один из корней второго уравнения совпадал с одним из корней первого.

Рассмотрим варианты совпадения:

а) Один из корней второго уравнения совпадает с $x = -1$.

- Если $\sqrt{a} = -1$, то это невозможно, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

- Если $-\sqrt{a} = -1$, то $\sqrt{a} = 1$, откуда $a = 1$. При $a = 1$ второе уравнение $x^2 = 1$ имеет корни $x = 1$ и $x = -1$. Множество всех корней исходного уравнения: $\{-1, 4\} \cup \{-1, 1\} = \{-1, 1, 4\}$. В этом множестве три различных элемента. Значит, $a = 1$ является решением.

б) Один из корней второго уравнения совпадает с $x = 4$.

- Если $\sqrt{a} = 4$, то $a = 16$. При $a = 16$ второе уравнение $x^2 = 16$ имеет корни $x = 4$ и $x = -4$. Множество всех корней исходного уравнения: $\{-1, 4\} \cup \{-4, 4\} = \{-4, -1, 4\}$. В этом множестве три различных элемента. Значит, $a = 16$ является решением.

- Если $-\sqrt{a} = 4$, то это невозможно для действительных чисел, так как $-\sqrt{a}$ не может быть положительным.

Суммируя все результаты, мы получаем, что уравнение имеет ровно три корня при трех значениях параметра $\text{a}$.

Ответ: $a=0, a=1, a=16$.