Номер 9.56, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.56. Решив уравнение, разложите квадратный трехчлен на множители:

1) $2x^2+5x-7=0$;

3) $3x^2-8x+5=0$;

2) $4x^2-x-14=0$;

4) $7x^2+x-8=0$.

1) Решим квадратное уравнение $2x^2 + 5x - 7 = 0$.

Для этого найдем дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=5$, $c=-7$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}$.

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители, используя формулу $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$.

$2x^2 + 5x - 7 = 2(x - 1)(x - (-\frac{7}{2})) = 2(x - 1)(x + \frac{7}{2})$.

Для удобства можно внести множитель 2 во вторую скобку: $(x - 1)(2x + 7)$.

Ответ: корни уравнения $\text{1}$ и $-\frac{7}{2}$; разложение на множители $(x - 1)(2x + 7)$.

2) Решим квадратное уравнение $4x^2 - x - 14 = 0$.

Коэффициенты: $a=4$, $b=-1$, $c=-14$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 15}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 15}{8} = -\frac{14}{8} = -\frac{7}{4}$.

Разложим трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$4x^2 - x - 14 = 4(x - 2)(x - (-\frac{7}{4})) = 4(x - 2)(x + \frac{7}{4})$.

Внесем множитель 4 во вторую скобку: $(x - 2)(4x + 7)$.

Ответ: корни уравнения $\text{2}$ и $-\frac{7}{4}$; разложение на множители $(x - 2)(4x + 7)$.

3) Решим квадратное уравнение $3x^2 - 8x + 5 = 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=5$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Разложим трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$3x^2 - 8x + 5 = 3(x - \frac{5}{3})(x - 1)$.

Внесем множитель 3 в первую скобку: $(3x - 5)(x - 1)$.

Ответ: корни уравнения $\text{1}$ и $\frac{5}{3}$; разложение на множители $(x - 1)(3x - 5)$.

4) Решим квадратное уравнение $7x^2 + x - 8 = 0$.

Коэффициенты: $a=7$, $b=1$, $c=-8$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 7} = \frac{-1 + 15}{14} = \frac{14}{14} = 1$.

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 7} = \frac{-1 - 15}{14} = -\frac{16}{14} = -\frac{8}{7}$.

Разложим трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$7x^2 + x - 8 = 7(x - 1)(x - (-\frac{8}{7})) = 7(x - 1)(x + \frac{8}{7})$.

Внесем множитель 7 во вторую скобку: $(x - 1)(7x + 8)$.

Ответ: корни уравнения $\text{1}$ и $-\frac{8}{7}$; разложение на множители $(x - 1)(7x + 8)$.